Les grands nombres nous fascinent, et ce depuis le plus jeune âge. Qui, enfant, n’a pas joué au jeu de celui qui dira le nombre le plus grand ? Grâce à l’imagination des mathématiciens, il est assez facile d’écrire des nombres absolument gigantesques, mais cela sert-il vraiment à quelque chose ? Y a-t-il des situations où l’on ait besoin de nombres vraiment gigantesques ?

Nous allons voir que dans la Nature, pas tant que ça. Mais dans les démonstrations mathématiques, oui ! Partons donc à la chasse au plus grand nombre utile à ce jour.

Les grands nombres dans la nature

En mathématiques, grâce à la merveilleuse notation « puissance », il est assez facile de construire des nombres énormes. Un million c’est « 10 puissance 6 », soit \(10^6\), un milliard c’ est \(10^9\), mais on peut aller facilement beaucoup plus loin, par exemple considérer le nombre :

\(10^{100}\)

On appelle ce nombre un gogol (et d’où vient le nom du célèbre moteur de recherche.) C’est un nombre représenté par le chiffre 1 suivit de 100 fois le chiffre 0. Mais quel intérêt en pratique ? Regardons autour de nous ce que l’on trouve comme grands nombres.

La population de la planète, c’est 7 milliards, donc pas très loin de \(10^{10}\). La fortune de Bill Gates ? 70 milliards de $, donc proche de \(10^{11}\). Le nombre de cellules dans un corps humain ? Environ \(10^{13}\). La capacité d’un disque dur exprimée en bits ? Environ \(10^{13}\) également. Le PIB total de la planète sur une année ? \(10^{17}\) dollars !

Pour atteindre le gogol, il va falloir chercher des choses plus grosses ! Heureusement la physique de l’infiniment petit et de l’infiniment grand vont nous aider. Il y a environ \(10^{23}\) molécules d’eau dans un verre d’eau, à peu près autant que de grains de sable sur Terre, et que d’étoiles dans l’Univers visible. D’ailleurs l’Univers visible a une taille d’environ \(10^{27}\) mètres. Si on regarde son volume plutôt que son diamètre, on fait un saut à \(10^{80}\) mètres-cubes. C’est à peu près aussi le nombre d’atomes dans l’Univers visible, puisque la densité moyenne est de l’ordre d’un atome par mètre-cube. On est pas loin du gogol !

Pour pousser le bouchon, on peut exprimer le volume de l’Univers rapporté au volume d’un proton, par exemple. Un proton mesure environ \(10^{-42}\) mètres cubes, donc le volume de l’Univers observable exprimé en volume de proton est égal à \(10^{122}\). Bingo !

On peut même aller plus loin en le rapportant au volume de l’électron (\(10^{-45} \mathrm{m}^3\)) voire carrément au volume de Planck, lequel vaut dans les \(10^{-105} \mathrm{m}^3\). Ca nous met le volume de l’Univers en nombre de volumes de Planck à \(10^{185}\). Si vous multipliez par l’âge de l’Univers exprimé en temps de Planck, on arrive à \(10^{245}\) pour le volume total d’espace-temps de l’Univers observable exprimé en unités de Planck (un nombre sans dimension, vous noterez). Voilà, je ne suis pas sûr qu’on puisse faire mieux.

Alors, \(10^{245}\) est-il le plus grand des nombres utiles ? En physique, probablement; en maths, certainement pas !

Et à la fin, les maths gagnent

En cherchant dans la nature, nous sommes péniblement arrivés à ce nombre de \(10^{245}\), soit quand même plus qu’un gogol au carré !

Mais évidemment, en regardant cela, le matheux rigole. En effet, on peut facilement exploser ce nombre, par exemple avec ce qui s’appelle le gogolplex, qui est tout simplement « 10 puissance gogol », c’est à dire :

\(10^{10^{100}}\)

Voilà un nombre qu’on ne peut même pas qualifier « d’astronomique », puisqu’il est justement bien supérieur à tout ce qu’on trouve en astronomie ou en cosmologie !

On pourrait penser que ce nombre est absolument ridicule, dans la mesure où il ne sert à absolument rien. Mais ça n’est pas vrai ! Pour un matheux, un nombre peut être considéré comme utile dès qu’il intervient dans une démonstration mathématique intéressante. Et nous allons voir que cela ouvre la porte à pas mal de nouveaux nombres de fort beau gabarit.

Changement de notation

Moi qui suit resté un grand enfant, je pense que j’ai joué pendant longtemps au jeu du « je peux dire un nombre plus grand que le tient ». Au lycée, ça devient plus drôle car l’éventail des armes augmente. On peut par exemple s’amuser à faire des tours de puissances, comme

\(10^{10^{10^{10}}}\)

La tour possède 4 étages du nombre 10. On va inventer une petite notation pour cela, je vais l’appeler \({\cal T}\), pour « Tour ». Ainsi le gogolplex est égal à

\(10\ {\cal T}\ 4\).

La notation « tour » est assez diabolique, car même si on rentre des petits nombres au départ, on se retrouve avec des nombres énormes en sortie. Par exemple \(4\ {\cal T}\ 3\) a l’air innocent, mais il vaut déjà \(10^{154}\).

Quant au nombre \(4\ {\cal T}\ 5\), il est tellement grand que jamais il ne pourrait être écrit ou représenté dans l’Univers visible. Si chaque volume de Planck de l’Univers était un bit de stockage d’un disque dur, le plus grand nombre représentable serait seulement \(2^{10^{185}}\), et là on est déjà bien au-dessus !

Les tours de puissances, c’est magique ! Mais est-ce qu’on ne pourrait pas pousser le bouchon encore plus loin ? Et si on faisait des « tours de tours », gniark gniark gniark !

Les flèches de Knuth

Pour aller encore plus loin encore plus vite, le mathématicien/informaticien Donald Knuth a eu l’idée d’une nouvelle notation. Si vous regardez ce qu’on a fait pour avoir des nombres de plus en plus grands, on est passés de l’addition à la multiplication, puis de la multiplication à la puissance, puis de la puissance à la tour. A chaque fois la mécanique est la même :

Une multiplication, c’est un enchaînement d’additions;

Une puissance, c’est un enchaînement de multiplications;

Une tour, c’est un enchaînement de puissances.

Knuth a alors proposé de généraliser l’idée. Nous allons utiliser la notation « flèche vers le haut » \(\uparrow\) pour désigner l’opération puissance. Pour la tour de puissance, on va écrire une double flèche vers le haut \(\uparrow \uparrow\), qui peut alors se définir en termes de l’opération « simple flèche vers le haut » par

Bien sûr on voit qu’on peut pousser plus loin, et empiler des tours, c’est-à-dire faire un enchaînement de doubles flèches. On obtient ainsi l’opérateur « triple flèche » définit par :

Et vous voyez qu’on peut généraliser cela, la notation « n flèches vers le haut » peut se définir à partir de la notation « (n-1) flèches vers le haut » selon

Pas besoin de vous faire un dessin, avec les flèches de Knuth, on grimpe encore plus haut que tout ce qu’on avait.

Mais, euh, à quoi ça sert ?

Ça sert dans des démonstrations bien sûr !

Le plus grand nombre (mathématiquement) utile

Il semble que le titre de plus grand nombre utile ait été longtemps tenu par le nombre de Graham. Ce nombre était une borne supérieure utilisée dans une démonstration d’un résultat de théorie des graphes colorés. Ce nombre est le 64ème terme de la suite \(g_n\) définie par

\(g_1 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\)

\(g_n = 3 \uparrow {}^{g_{n-1}} 3\)

Mais il semble qu’un autre nombre encore plus grand tienne actuellement le record. Ce nombre apparaît dans une démonstration liée à des comptages d’arbres, il s’appelle d’ailleurs TREE(3). On ne sait pas vraiment donner sa valeur, mais on peut en donner une borne inférieure. Pour cela on définit la fonction

\(A(x) = 2 \uparrow^{x-1} x\)

et on considère le nombre A(A(A(…A(1)))), où le nombre de fois où l’on compose la fonction A avec elle-même est égal à A(187196). On peut donc noter ce nombre

\(A^{A(187196)}(1)\).

Je vous laisse essayer d’imaginer le nombre de flèches qu’il faut. Voilà, vous avez sous vos yeux ce qui est peut-être le plus grand nombre mathématiquement utile à ce jour, pour ma part j’ai mal à la tête.

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Pour aller plus loin : Un simple problème de comptage

Pour expliquer un peu comment des nombres aussi grands peuvent apparaître, nous allons considérer un problème tout simple. Prenons un alphabet comportant k lettres, et faisons une séquence de N lettres.

\(x_1 x_2 x_3 \cdots x_N\)

On s’intéresser aux séquences que je vais appeler « valides », et qui sont telles qu’aucun bloc \(x_i \cdots x_{2i}\) ne soit inclus dans un bloc postérieur \(x_j \cdots x_{2j}\). (Notez bien les indices : de i à 2i, et de j à 2j).

Prenons un alphabet à 2 lettres, A et B. La séquence ABABABAB n’est pas « valide », car la sous-séquence BAB comprise entre la position 2 et la position 4 (i=2) est incluse dans la sous-séquence comprise entre la position 4 et la position 8 (j=4).

Construire des séquences valides n’est pas si simple, car il faut faire attention à ne pas répéter des sous-séquences existantes.

La question mathématique est maintenant : pour un alphabet de k lettres, quelle est la plus longue séquence valide que je peux écrire ?

Pour un alphabet à 1 lettre, la réponse est 3 : c’est la séquence AAA

Pour un alphabet à 2 lettres, la réponse est 11 : la séquence ABBBAAAAAAA.

Pour un alphabet à 3 lettres, la réponse est énorme, monstrueuse, démentielle. On ne sait pas combien c’est, mais elle est plus grande que

\(2 \uparrow^{7197} 158386\)

Le chiffre énorme que j’ai donné à la fin de ce billet est en fait une borne pour la réponse à 4 lettres. Je vous fais grâce de la réponse à 26 lettres.

Ce petit exemple est assez typique de ces problèmes de combinatoires énormes pour lesquels on a besoin de ces nombres gigantesques. Il s’agit d’un domaine connu sous le nom de théorie de Ramsey.

J’ai affirmé dans ce billet qu’en physique on avait pas besoin de grands nombres. C’est évidemment faux dès que l’on parle en termes de possibilités, comme on peut le faire en physique statistique par exemple. Si vous dénombrez l’ensemble des trajectoires possible d’un ensemble de particules de grande taille, vous allez trouvez quelque chose de plus grand encore. Mais on est déjà un peu dans les maths puisqu’on parle de trajectoires possibles mais pas toutes réelles.

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