Com’è stata la prova scritta di matematica all’Esame di Stato per lo scientifico? Beh, ci sono stati sicuramente degli spunti positivi che non mi sarei aspettato: peccato per una domanda mal formulata che potrebbe avere gettato nel panico gli studenti. Il testo ufficiale della prova lo potete trovare nel sito del MIUR, mentre una traccia di soluzione è disponibile per esempio su Wired. Mi limito quindi a raccontarvi qualcosa da un punto di vista metamatematico.

Il primo problema, quello sulla tariffa telefonica di un operatore, mi ha fatto venire in mente una battutaccia. Seriamente, l’idea mi piace molto non tanto per la dematematizzazione del problema (tradotto in italiano: perché si presenta un fatto reale da cui si deve come prima cosa trovare la formalizzazione matematica, e solo dopo risolvere il problema), quanto per il tentativo di far fare allo studente il passo all’indietro. Quando trovi scritto

«dai la tua interpretazione dell’andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano»

sei costretto a pensare cos’è l’asintoto obliquo della funzione “costo totale” (la quota fissa conta sempre meno se tu aumenti il numero di telefonate) e che se non telefoni mai il costo fisso, pur essendo costante, ti fa crescere il costo per unità di tempo all’infinito. Però…

Però c’è un però, che è sempre nascosto quando si dematematizza. Il costo per minuto delle chiamate è appunto per minuto: teoricamente non hai una funzione continua ma una a scalini. E lo stesso varrebbe se le chiamate fossero conteggiate al secondo: gli scalini sarebbero semplicemente più frequenti. Non credo che saranno in molti ad aver segnalato questa cosa, e se io fossi un commissario darei subito il massimo dei voti a chi l’avesse fatto; ma è una cosa di cui il ministero avrebbe dovuto tenere conto. Secondo me non basta dire «individua l’espressione analitica» (anche la funzione a scalini lo è…) ma una frasetta in più del tipo «supponendo che il costo sia calcolato sulla durata effettiva della chiamata» non avrebbe fatto male.

La stessa cosa, se non peggio, vale per il secondo problema, che dato il disegno di una funzione f(x) e alcuni dati chiede come prima domanda (quella che si suppone essere la più facile…)

«Nel caso f(x) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo?»

La risposta che ho visto in giro e che è anche presente su Wired è “il grado è quattro, perché ci sono tre punti stazionari dove la derivata si annulla”. (una formulazione un po’ diversa nota che ci sono tre zeri, ma quello per x=2 è almeno doppio: ma il risultato finale è lo stesso). Peccato che tutti quei dati specificati, e soprattutto quello sulla primitiva della funzione che dice g(3) = −5 e che altrimenti non servirebbe a nulla, fanno immaginare che quella non sia affatto la risposta voluta dal ministero. Su Facebook gli amici di Madd Maths hanno notato che vengono date undici condizioni sulla primitiva g(x) (un valore, quattro aree, tre zeri della funzione di partenza, tre punti stazionari della derivata della funzione di partenza) che danno come risultato che g(x) deve essere di grado almeno 10, e dunque f(x) di grado almeno nove.

Tutto bene? Macché. Il problema è che per affermare con sicurezza questa cosa occorre essere certi che tutte queste condizioni danno luogo a equazioni linearmente indipendenti nei coefficienti del polinomio, cosa che non è affatto detta (lo sono, ma questo lo scopri con un software apposta oppure facendo MOLTI più conti di quelli che puoi ragionevolmente fare in un compito). Diciamo che – ammesso che durante l’esame mi fosse venuto in mente di fare tutti quei ragionamenti – avrei scritto “il grado potrebbe essere almeno nove, per questi motivi”. (Per la cronaca, il grado è almeno dieci, se non più: ci sono gli ulteriori vincoli sul fatto che non ci siano altri zeri e punti stazionari nell’intervallo disegnato). Non trovate che il tutto sia un po’ esagerato per un povero diciannovenne? Gli lasci un “potrebbe” in un testo, per di più di matematica?