Le théorème de Pythagore est certainement le plus connu de toutes les mathématiques. Mais qui sait vraiment le démontrer de but en blanc ? Et pourtant il existerait plusieurs centaines de manières de le faire !

Pour ma part, je n’ai jamais vraiment réussi à retenir une seule démonstration plus de quelques heures … jusqu’à ce que j’en croise une bien particulière, la plus belle de toute à mon goût : une démonstration de physicien, bien sûr, puisqu’elle utilise l’analyse dimensionnelle ! (dont je parlais dans mon précédent billet)

Considérons un triangle rectangle. Il est parfaitement caractérisé par la donnée de son hypoténuse (appelons-là C) et de l’un de ses angles aigus (appelons le \(\theta\)). Je vous laisse vous en convaincre sur le dessin suivant : si je vous donne C et \(\theta\), vous pouvez reconstruire ce triangle rectangle sans ambiguïté.

Considérons maintenant l’aire d’un triangle rectangle. Puisqu’un tel triangle est complètement caractérisé par C et \(\theta\), il existe une fonction

\({\cal A}(C,\theta)\)

qui donne la valeur de cette aire. Si je voulais, je pourrais trouver la formule exacte de cette fonction, mais je ne vais pas en avoir besoin.

Faisons un peu d’analyse dimensionnelle : l’aire \(\cal A\) est le carré d’une longueur, l’hypothénuse C est une longueur, et \(\theta\) est un nombre sans dimension. La seule manière que les unités collent, c’est que la formule qui donne l’aire d’un triangle rectangle ait la forme suivante

\({\cal A}(C,\theta) = C^2 f(\theta)\)

où \(f(.)\) est une fonction que je n’ai pas besoin de chercher à connaître.

Considérons maintenant le dessin suivant, où je pars d’un triangle rectangle d’hypoténuse C et d’angle aigu \(\theta\). Sur le dessin, j’ai également tracé sa hauteur.

Vous voyez que la hauteur partage notre triangle en deux petits triangles rectangles d’hypoténuses respectives A et B, et ayant chacun un angle \(\theta\). Puisque l’aire du grand triangle est égale à la somme de celle des petits, on peut écrire :

\(C^2 f(\theta) = A^2 f(\theta) + B^2 f(\theta)\)

Je simplifie par \(f(\theta)\) et le tour est joué :

\(C^2 = A^2 + B^2 \)

Pas mal, non ? Évidemment, les matheux purs et durs vont hurler, mais je m’en fiche !

Pour ceux qui veulent creuser, on peut remarquer que ce qui fait la validité physique du raisonnement, c’est qu’il n’existe pas dans le problème d’autre quantité ayant la dimension d’une longueur. Notez que ça ne marcherait plus en espace courbe, par exemple pour un triangle tracé sur une sphère, laquelle possède une longueur naturelle : son rayon de courbure.

D’ailleurs la formule qui donne l’aire d’un triangle sphérique est d’une grande beauté. Je me souviens avoir cherché à la retrouver (sans la connaître) et quand le résultat est apparu sous mes yeux j’en étais fasciné : sur une sphère de rayon 1, l’aire d’un triangle sphérique est égal à la somme de ses angles (moins \(\pi\)) !

Crédits

Pythagore : Composition personelle à partir d’une photo d’un buste

Triangle sphérique : Wikimedia Commons

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