Très tôt, dès les premiers partages de jouets ou de friandises, on apprend que certains nombres entiers, tel 6 = 2 x 3, se « cassent » aisément en deux facteurs. En revanche, on n'arrivera jamais à décomposer ainsi les nombres 2, 5, 7, etc. Ces nombres sont nommés premiers. Jean-Paul Delahaye, auteur de Merveilleux nombres premiers, aux éditions Belin, nous présente certaines de leurs particularités.

Euler et Gauss, deux des plus grands mathématiciens de tous les temps, avaient bien compris l'importance des nombres premiers, ainsi que leur mystère. Les nombres premiers ont une importance centrale en arithmétique, car tout nombre se décompose de façon unique en produit d'un ou de plusieurs facteurs premiers (150 = 2 x 3 x 5 x 5 ; 7 = 7). Quant à leur mystère, on le perçoit en considérant le début de leur suite, par exemple les 25 nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Essayez donc de prédire les écarts entre ces nombres ! Nulle règle ne semble gouverner la succession des nombres premiers.

Les nombres premiers : un monde infiniment riche

Dès l'abord, on pressent que le monde des nombres premiers est infiniment riche. Je vous propose de vous guider dans les parties explorées de ce monde, jusqu'à la lisière de l'inconnu, où les mathématiciens sont réduits aux hypothèses, pour une fois démunis de l'arme de la preuve. La seule qualité requise pour ce voyage est la curiosité. Je ferai en sorte qu'il vous amuse (le divertissement a toujours été l'un des moteurs de l'arithmétique) tout en vous instruisant d'un peu de mathématiques et de leur histoire. En outre, vous découvrirez, derrière la faune bigarrée des nombres premiers, des applications devenues cruciales pour le développement de l'informatique et des communications modernes.

Vue d’artiste d’une spirale d’Ulam, un mode de représentation des nombres premiers dans lequel on distingue d’étranges diagonales. © DR

Dans ce dossier, certains outils mathématiques seront abordés, comme le crible d'Ératosthène et la décomposition en facteurs premiers, mais aussi l'arithmétique modulaire. Nous finirons avec l'histoire du plus grand nombre premier, notamment avec l'apparition des ordinateurs, et un aperçu des nombres premiers palindromes. Bonne lecture.

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