La vidéo du jour est la suite naturelle de la précédente : on y parle de E=mc2, de ce que ça signifie, et du rapport que ça a avec le boson de Higgs.

Peut-on vraiment démontrer E=mc2 ?

Mon premier complément concerne la « démonstration » de E=mc2. Ben oui, une formule aussi importante, on doit bien pouvoir la démontrer, non ? Eh bien en fait ça n’est pas si simple, loin de là !

Comme je l’explique dans la vidéo, le raisonnement initial d’Einstein consiste à imaginer une situation bien particulière, un corps perdant de l’énergie en émettant deux photons identiques dans des directions opposées, et à montrer via des changements de référentiel en relativité restreinte que la conservation de l’énergie et de l’impulsion impose une diminution de la masse égale à la perte d’énergie divisée par \(c^2\). Si cette démonstration vous intéresse, elle est présentée par Science4All dans sa vidéo.

Il y a plusieurs critiques que l’on peut faire à cette démonstration d’Einstein. Tout d’abord son cas d’application très restreint : un corps perdant de l’énergie par rayonnement sous la forme de deux photons identiques de direction opposée. C’est quand même très spécifique. Autre détail, Einstein utilise une approximation « non-relativiste » pour l’énergie cinétique. Tout ça ne remet pas en cause la beauté de l’idée, mais on peut s’imaginer qu’une démonstration plus générique existe.

Idéalement, on voudrait que E=mc2 puisse être déduit de principes génériques comme le principe de relativité, la conservation de l’énergie et de l’impulsion, et l’utilisation de la transformation de Lorentz comme étant la « bonne » transformation pour les changements de référentiel. Cette démonstration existe, mais elle est finalement peu connue, et rarement présentée dans son ensemble.

Le point clé (et non-trivial !), c’est de démontrer que l’énergie et l’impulsion d’un système forment un quadrivecteur de Lorentz, c’est-à-dire un quadrivecteur pour lequel on change de référentiel en appliquant la transformation de Lorentz (comme c’est le cas pour les coordonnées d’espace-temps d’un évènement)

Evidemment, « on sait bien » que l’énergie et l’impulsion d’un système sont deux quantités que l’on peut rapprocher : ce sont des quantités conservées, et qui sont les quantités conjuguées associées au temps et à l’espace (et qui traduisent les invariances par translation.) Donc pour le physicien, ça parait « complètement naturel » de les associer et de dire qu’ils forment un quadrivecteur…encore faut-il le démontrer !

C’est ce l’objet du théorème de Klein, publié une dizaine d’années après le papier d’Einstein. Mais ce résultat technique reste peu connu. Je ne vais pas vous faire la démo, prenons le pour acquis ! (Pour les bourrins : Ohanian, H. C. (2012). Klein’s theorem and the proof of E0= mc 2. American Journal of Physics, 80(12), 1067-1072.)

On peut donc construire pour tout système son quadrivecteur « énergie/impulsion » de la façon suivante :

\(P^{\mu} = (E/c,\vec{p})\)

Dire que ce truc est un quadrivecteur de Lorentz, c’est dire que ses composantes (énergie et impulsion) vont dépendre du référentiel dans lequel on se place, et qu’on passe d’un référentiel à un autre en appliquant les transformations de Lorentz.

Plaçons nous en particulier dans le référentiel propre de l’objet, l’impulsion y est nulle, on a donc

\(P^{\mu} = (E_0/c,0)\)

Maintenant regardons les composantes dans un autre référentiel se déplaçant à vitesse relative v par rapport au référentiel propre. On applique une transformation de Lorentz et on obtient les composantes :

\(P^{\mu} = (E/c,\vec{p})= (\gamma E_0/c,-\gamma\vec{v}E_0/c^2)\)

Par ailleurs en relativité resteinte, l’impulsion d’un système vu depuis un système qui est en vitesse relative \(\vec{v}\) est égale à

\(\vec{p} = \gamma m v\)

En identifiant les deux formules précédentes, on obtient alors le fameux \(E_0 = mc^2\). L’énergie « au repos » (dans le référentiel propre) est égale à la masse fois le carré de la vitesse de la lumière. Oui mais comment on fait quand on est pas dans le référentiel propre ? Eh bien on utilise la transformation de Lorentz !

Donc dans le référentiel propre l’expression du quadrivecteur énergie/impulsion :

\(P^{\mu} = (mc,0)\)

On peut alors utiliser le fait que la norme d’un quadrivecteur est un invariant (qui ne dépend pas du référentiel), et que sur le quadrivecteur précédent, cette norme vaut donc \(m^2c^2\). En écrivant que la norme est celle-ci dans un référentiel quelconque, on sort la formule générique vraie dans tout référentiel

\(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\)

Ce qui est intéressant avec cette formule, c’est qu’on peut l’écrire avec une racine carrée en factorisant

\(E = mc^2 \sqrt{\frac{p^2}{m^2c^2} +1}\)

et qu’on peut en faire un développement limité pour \(p << mc\) et obtenir

\(E = mc^2 + \frac{p^2}{2m}\)

qui n’est autre que la formule semi-classique qui dit que l’énergie est égale à la somme de l’énergie au repos et de l’énergie cinétique (et bien sûr on pourrait pousser plus loin le développement limité pour avoir les corrections relativistes.)

Autre intérêt de la formule générique \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\), c’est qu’elle s’applique aussi au cas des photons, qui ont une masse nulle, mais une impulsion non-nulle ! Elle est égale à

\(p=\hbar k\)

où \(k=2\pi/\lambda\) est le vecteur d’onde et \(\lambda\) la longueur d’onde. Quand on injecte ça dans la formule, on retombe sur notre bon vieux

\(E=\hbar\omega\)

pour l’énergie du photon (car \(\omega = 2\pi f = 2\pi c/\lambda\).)

La formation de l’helium

Dans mon explication de la « perte de masse » du noyau d’hélium, j’ai représenté les choses comme si ces noyaux s’assemblaient effectivement par combinaison de 2 protons et 2 neutrons. C’est une expérience de pensée car en pratique le procédé de synthèse des noyaux d’hélium (tel qu’on le trouve par exemple dans les étoiles) est plus complexe, et fait intervenir plusieurs étapes et plusieurs chemins de réaction. On peut citer les deux suivants (merci Wikipédia)

[By Borb, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=691758]

J’aime bien ce deuxième qu’on appelle cycle CNO, si vous l’observez attentivement, vous verrez que c’est un cycle qui convertit au total 4 protons en un noyau d’hélium, et dans lequel le carbone joue le rôle de « catalyseur » en passant successivement par l’azote et l’oxygène avant de retourner à son état initial.

Nucléons et quarks

Comme je l’ai dit dans la vidéo, se faire une image précise de ce que contient vraiment un nucléon est assez difficile. Il y a une soupe de quarks, d’antiquarks et de gluons, qui évolue sans cesse en transformant en permanence de l’énergie des gluons en paire quark/antiquark et réciproquement.

Il y a une question qu’on peut se poser à ce sujet, c’est de savoir quels types de paires on peut trouver dans cette soupe. En effet les quarks charm, top et bottom ont une masse supérieure à celle d’un nucléon. Donc on aurait envie de penser que ce dernier ne contient pas assez d’énergie pour créer ces paires, et que dans la soupe, on aurait donc des quarks et antiquarks up, down et (au maximum) une paire strange/antistrange (car le strange est lourd lui aussi !).

Mais dans le cadre du modèle standard, ces particules sont ce qu’on appelle des « particules virtuelles ». Ce serait un peu long de détailler, mais ce qu’il faut savoir c’est que ces particules peuvent temporairement violer la conservation de l’énergie, on dit qu’elles sont « hors de la couche de masse ». Donc on peut bien avoir des quarks lourds dans la soupe.