「ラマヌジャンは数学者のなかでも異色・異能の天才で、まさに“数学の魔術師”です。彼の着想の源がどこにあるのか、彼の死後、誰も本当にはわかっていないと思います。彼は4,000もの定理や数式をノート何冊にもわたってぎっしりとまとめていました。これは、その質まで考えると恐るべき量で、ぼくのこれまでの数学人生全部あわせても、ラマヌジャンの公式10個分にもならないでしょうね」

そう語るのは、著書『数学の魔術師たち』でラマヌジャンにふれた広島大学大学院理学研究科数学専攻の木村俊一教授だ。

シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（1887〜1920）は、独学で数学を学んだインド人の数学者だ。彼は敬虔なヒンドゥー教徒で、身分は最上級カーストのバラモンだった。

20世紀の初め、南インドの小さい家で石版にカリカリと計算式を書いていた青年ラマヌジャンは、当時職もなく、できあがった数式のうちとびきり気に入ったものだけを貴重な紙のノートに丁寧に書き連ねていった。当時、紙は貴重なものだったからだ。

彼は自ら研究成果を英国に送り、その研究がケンブリッジ大学の数学教授ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディの目に留まる。海外渡航をするとカーストを失うなか「神の特別な許しを得て」ケンブリッジ入りをしたラマヌジャンだが、バラモンの教条を守り徹底した菜食主義を貫いたため、この国では満足な食事をとることができなかった。さらに第一次世界大戦の勃発で食料が不足するなか、ついには病に侵されてしまう。その後インドに戻り、32歳という若さでこの世を去った夭折の天才数学者である。

『奇蹟がくれた数式』でのハーディ教授（左）とラマヌジャン（右）。ハーディはラマヌジャンのよき理解者となっていく。

ラマヌジャンの生涯を描いた映画『奇蹟がくれた数式』（2016年10月22日公開）では、（文系にもかろうじてわかる）いくつかの数式が出てくる。なかでも印象的なのは、ラマヌジャンとハーディの別れのシーンに出てくる、タクシーのナンバープレートのエピソードだ。

そこに記された「1729」というなにげない数を、ハーディは「つまらん番号だ」と言うのが、ラマヌジャンは「とても面白い番号です。1729は3乗数2つの和として2通りにあらわされるいちばん小さな数です！」と反論する。これはつまり、こういうことだ。

12×12×12＝1728 これに1×1×1＝1を足すと1729

10×10×10＝1000に9×9×9＝729を足すと1729

1から1728までの数字では、このような現象は起こらない。これを少し変形すると、103+９3+(−1)3＝123となるのだが、この数式は、ラマヌジャンの生きた時代では未解決だったフェルマーの最終定理「xn+yn=znとなるような自然数x,y,zはnが3以上の整数ならば、存在しない」を連想させる。

「x3+y3=z3」となる自然数x, y, zが存在しないことはラマヌジャンよりも前の数学者レオンハルト・オイラー（1707〜1783）がすでに証明しており、普通の数学者ならば、未解決問題である「nを大きくするとどうなるか？」という方向に考えが進む。しかし、ラマヌジャンは「では、変数をひとつ増やすとどうか？」という思いもよらぬ方向に発展させ、

(6a2-4ab+4b2)3=(3a2+5ab-5b2)3+(4a2-4ab+6b2)3+(5a2-5ab-3b2)3

という不思議な数式を問題形式にして、インドの数学ジャーナルに発表するのだ。

「こんな式をどうやって見つけたのか、見当もつかない」と木村は言うが、同時にこれこそがラマヌジャンが天才たるゆえんだと語る。

「ラマヌジャンが優れていたのは空想力、夢想力なのだと思います。普通の数学者には見えていないものが、彼には見えていたのでしょう。この発想の源をラマヌジャンは『ナマギーリ女神が舌に数式を書いてくれる』と言っています」

数学者たちの数奇な運命

数学者をモデルとする映画や文学作品はこれまでにも数多くある。例えば、ゲーム理論を生み出した功績でノーベル賞を受賞した数学者ジョン・ナッシュの人生を描いた映画『ビューティフル・マインド』（2002）。

天文暦学者・数学者の渋川春海とともに映画『天地明察』（2012）で描かれた関孝和（1642〜1708）は、江戸時代に「点竄（てんざん）術」という筆算による代数方程式の解法を発明し、独自に編み出した微積分の計算を応用して円周率を小数第11位まで算出し、西欧にさきがけて線形代数の行列式まで発見した。

多変数複素関数論を発表した岡潔（1901〜1978）をモデルにした映画『好人好日』（1961）では、父娘の情愛を描いた物語がコメディタッチで描かれている。このように、一見とっつきにくそうな数学者が映画のモデルになることに対し、木村は次のように語る。

「数学者の人生が、ほかの人と比べて面白いというのは当然だと思います。普通の人は周囲と歩調を合わせないと社会生活を送れませんが、ぼくたち数学者は、ほかの人と同じ発想しかできないと存在価値がないんです。いかに誰も考えたことがない着想で新しい定理を導き出せるかが、数学者にとっての生命線です。だから日常では、ずれた面が出てくるんでしょうね」

数学の進歩の速度──ヒルベルトの23の数学の問題

今日においても、世界中の数学者たちはラマヌジャンの数式に挑んでいる。ラマヌジャンのいくつかの研究は、現在、弦理論やブラックホール、量子重力の研究を行う物理学者や数学者を支えているという。

ラマヌジャンはインドに帰ったあとも数学の研究を続け、「偽テータ函数と擬テータ函数というものを思いついて研究しています」とハーディに手紙を送っている。その研究ノートの140ページは、1976年に擬テータ関数の専門家、ジョージ・アンドリュースによって発見された。さらに、一見、インターネットと関係のない彼の整数論も、タウ函数についてのいくつかの予想を通して、現在ぼくたちが効率よくインターネットを使えるシステムにつながっているという。

映画『奇蹟がくれた数式』より。©Richard Blanshard

ラマヌジャンが死去したのは1920年で、それから100年が経とうとしている。この100年におけるテクノロジーの進歩はいうまでもないが、かたや「数学」という学問においていかほどの進歩があったのか、木村に訊いた。

「1900年にパリで開かれた第2回国際数学者会議で、ドイツのゲッティンゲン大のダフィット・ヒルベルト（1862〜1943）は、20世紀に解決されるべき数学上の23の問題を提起しました。

ぼくたちがいましている数学の研究の半分以上は、1900年にヒルベルトが提示した23の問題の延長線上にあるといっていいと思います。つまり、ぼくたちはいまでも100年前・200年前の問題を一生懸命解こうとしているんです。

テクノロジーの発展は速いですが、数学の進みはとてもゆっくりです。1997年には、（前出の）アンドリュースがラマヌジャンに関係する数学専門の学術誌（『The Ramanujan Journal』）を創刊しました。ラマヌジャンの数学はいまもなお、生きているんです。むしろ、ようやくラマヌジャンが見えていたものが、100年後のぼくたちにも見えはじめてきたのだと思います」

木村俊一｜SHUNICHI KIMURA

1963年生まれ。東京大学理学部数学科卒業。同大学院理学研究科修士課程修了。シカゴ大学にてPh,D取得。MIT、ユタ大学、ヴァージニア大学、マックス・プランク研究所などを経て、現在、広島大学院理学研究科教授。専門は代数幾何とおもしろ数学。著書に『数学の魔術師たち』〈角川ソフィア文庫〉ほか。