Los Rodrigues: Funciones más, Funciones menos

No, no es una falta de ortografía. Me refiero a Olinde Rodrigues, matemático francés. Habiendo trabajado un poco con funciones especiales, como lo son las de Legendre, Bessel y Bessel Esféricas, Hermite, Función Gamma, Zeta(s) de Riemann, o de Laguerre, es recurrente toparse con una expresión

Fórmula de Rodrigues de……

Varias de las funciones mencionadas tienen una fórmula de este tipo (y de este tipo), y muchas veces es un alivio debido a que las definiciones, o el origen de ellas, tienen expresiones en series usualmente algo engorrosas. Pero, ¿quién es Olinde Rodrigues?

Olinde

Empecemos por decir que tiene una biografía completa

Olinde Rodrigues nace en 1795, para la Revolución Francesa, entre la toma de la Bastilla y el poder de Napoleón Bonaparte. Su familia era judia, siendo su padre bibliotecario, en una época en la que fue necesaria la intervención de Napoleón para aclarar que no había contradicción entre ser judio y ser leal al gobierno francés (1). Estudió en el Liceo Imperial. Se sugiere que dada su religión, no podría entrar a la Escuela Politécnica (donde asistía Cauchy) esto a pesar de que recientemente habría sido admitido un judio por primera vez. Es todo un tema de conversación el por qué no buscó ser admitido en tan prestigiosa Escuela, podría haber sido simplemente por comodidad de donde era asistente y eventualmente profesor, el Liceo Napoleón. Alrededor de 1815, el catolicismo, de la mano de los jesuitas “recuperan” algunas instituciones, afectando a algunos miembros judíos. Así que Oliden tuvo que buscar otras maneras de subsistir, y a pesar de esto procuró seguir investigando.

Entre los trabajos que Olinde realizó están, desde su tesis doctoral donde enuncia la Fórmula para los polinomios de Legendre, sus estudios de curvaturas, de movimientos de partículas en cálculo de variaciones, o incluso en combinatoria.

Rodrigues tenía un talento que no fue completamente reconocido, a veces hasta tiempo después. Debido a esto, algunas de las fórmulas que dedujo ¡no llevan su nombre! Hermite, por ejemplo, encontró tiempo después, que fórmulas relacionadas a sus polinomios ya habían sido expresadas por Rodrigues años antes. Tal vez por eso no es fácil encotrar, de primas a primeras, las Fórmulas de Rodrigues. (2)

Wolfram Demonstrations

En algunas ocasiones me he referido a las Wolfram Demonstrations, que es un conjunto de simulaciones o animaciones realizadas en Mathematica, escritas y compartidas por usuarios de todo el mundo. Para verlas es necesario instalar (gratis) el CDF Player.

Entre todas estas, hay una que llamó mi atención y que comparto en esta nota: Generating Functions and Rodrigues’s Formulas for Special Functions Used in Quantum Mechanics, en las que reune las fórmulas de Rodrigues para las funciones de Legendre, Legendre Asociado, Hermite, Laguerre, y Bessel Esférica (Bessel “normal” no tiene fórmula de Rodrigues).

Las Fórmulas

Algunas de las fórmulas las encuentran en el Wolfram Demonstrations antes mostrado, y algunas otras en unas notas de clase que escribí hace tiempo (existen algunos “typos”…)

Polinomio de Legendre

Polinomio Asociado de Legendre

Polinomio de Hermite

Polinomio de Laguerre

Función de Bessel Esférica

Referencias :

(1) Almans & Ortiz Mathematics and social utopias in France

(2) Benjamin Olinde Rodrigues – Mathematians biographies

(3) Notas de Clase Métodos Matemáticos I

(4) Casi ninguna referencia es completa sin mencionar al Arfken y Weber, o incluso Mathews & Walker, de Métodos Matemáticos para Físicos.