Les probabilités de la loterie EuroMillions

Un tirage de l’EuroMillions se décompose, d’une part, en le tirage aléatoire de 5 numéros parmi 50, et, d’autre part, le tirage de 2 « étoiles de la chance » parmi 12. Ces deux tirages sont indépendants, si bien qu’un numéro peut être le même qu’une étoile à un tirage donné. La loterie a connu 3 périodes différentes. De sa création en 2004 jusqu’en mai 2011, il y avait 9 étoiles de la chance. En 2011, deux étoiles ont été ajoutées, portant leur nombre à 11. Plus récemment, en septembre 2016, une 12ème étoile a rejoint les précédentes. La probabilité de gagner le jackpot est ainsi progressivement passée de 1 chance sur 76 millions (2004-2011), à 1 sur 116 millions (2011-2016), et depuis 2016 à 1 chance sur 140 millions.

Rang Numéros Etoiles Probabilité de gagner 1 5 2 1 / 139 838 160 2 5 1 1 / 6 991 908 3 5 0 1 / 3 107 515 4 4 2 1 / 621 503 5 4 1 1 / 31 075 6 3 2 1 / 14 125 7 4 0 1 / 13 811 8 2 2 1 / 986 9 3 1 1 / 706 10 3 0 1 / 314 11 1 2 1 / 188 12 2 1 1 / 49 13 2 0 1 chance sur 22 Tous rangs confondus 1 chance sur 13 Voir également les gains moyens pour chaque rang

Les calculs en détails

Au niveau des numéros, premièrement, il y a un tirage aléatoire de 5 boules sur 50, ce qui donne un nombre de résultats possibles de 50! / (5! x 45!) = 2 118 760. Autrement dit, vous avez, en jouant une grille de jeu, statistiquement une chance sur 2 millions d’avoir les 5 bons numéros (indépendamment des étoiles, donc il s’agit de la probabilité de gagner à un des 3 premiers rangs).

Concernant les étoiles de la chance, il y a un tirage aléatoire de 2 boules sur 12, ce qui équivaut à un nombre de possibilités de résultats de 12! / (2! x 10!) = 66. Vous avez donc une probabilité de une chance sur 66 d’avoir, à un tirage donné, les deux bonnes étoiles. (Avec la première formule, lorsqu’il n’y avait que 9 étoiles, vous aviez une chance sur 36 d’avoir les deux bonnes. Et lorsqu’il y avait 11 étoiles, une chance sur 55.)

Qu’en est-il alors du jackpot ?

Il est gagné si vous avez à la fois les 5 bons numéros et les 2 bonnes étoiles. Le nombre de combinaisons possibles est de 2 118 760 x 66 (nombre de combinaisons des numéros x nombre de combinaisons des étoiles) = 139 838 160. Autrement dit, en jouant une grille, vous avez une chance sur 140 millions de gagner le gros lot.

Vos chances de gagner un lot quelconque, tous rangs confondus, est quant à elle d’environ une chance sur 13. Ceci signifie qu’en moyenne, si vous jouez une seule grille par tirage (mardi et vendredi) pendant très longtemps, vous gagnerez quelque chose en moyenne une fois tous les 13 tirages (environ 8 lots par an donc).

Il est important de comprendre que ces probabilités vont refléter les proportions réellement observées sur un très grand nombre de tirages, il n’est donc pas exclu que quelqu’un gagne le gros lot alors qu’il joue pour la première fois, bien que cet événement soit statistiquement quasi-impossible.

Probabilité de gagner au MyMillion

Le MyMillion fonctionne comme une tombola : un code gagnant est tiré au sort parmi tous les codes joués. De ce fait, plus il y a de joueurs, moins de chance vous avez de gagner, et vice-versa. La probabilité du MyMillion n’est pas fixe : elle est de 1 chance sur le total des codes MyMillion joués pour ce tirage. En moyenne, il y a environ 4 millions de grilles jouées en France le mardi, et 8 millions le vendredi. Vous avez donc une probabilité de gagner le MyMillion de 1 chance sur 4 millions le mardi, et 1 chance sur 8 millions le vendredi. Au total, 50% des mises MyMillion sont redistribuées aux joueurs.