No dobra, cwaniaki. A więc wierzycie, że Ziemia jest kulą? I w dodatku kręci się dookoła własnej osi? To jak wyjaśnicie to!

Osoba stojąca na równiku każdej doby zatacza pełen krąg – 40 000 km. Daje to prędkość 40 000 km / 24 h czyli 1 666,(6) km/h. A słyszeliście kiedyś o sile odśrodkowej?! Wyobraźcie sobie teraz dziecko na karuzeli, która przyspiesza i przyspiesza, aż wreszcie nasz malec osiąga prędkość ponad półtora tysiąca kilometrów na godzinę. Dobrze wiecie, co by się stało! Siła odśrodkowa wyrzuciłaby dzieciaka z karuzeli. Tymczasem stojąc na „równiku” pędzimy z zawrotną prędkością i w ogóle tego nie odczuwamy. (A tak w ogóle, to na biegunie, gdzie nie działa siła odśrodkowa, powinniśmy się czuć wyraźnie ciężsi.)

Ten popularny wśród zwolenników Płaskiej Ziemi argument stanowi dobry punkt wyjścia do zastanowienia się nad zjawiskiem analfabetyzmu matematycznego (innumeracy) i jego roli w budowaniu i podtrzymywaniu poglądów pseudonaukowych. Analfabetyzm matematyczny nie powinien być mylony z dyskalkulią. To nie kondycja psychologiczna, a społeczna. Polega na tym, że znaczna część społeczeństwa, mimo iż posiada pewną podstawową wiedzę z zakresu matematyki, nie wykorzystuje jej w codziennym życiu. Najgorsze jest to, że często robimy to z premedytacją!

Analfabetyzm matematyczny jako źródło plemiennej tożsamości

Brak narzędzi matematycznych czynił mnie w wielu miejscach po prostu gorszym w tym, co chciałem robić. Sprawiał, że byłem słabszym „humanistą”. Jak język obcy, którego nie nauczyłem się na własne życzenie.

Wielokrotnie zwracałem tu uwagę na pożytki, jakie nowoczesnemu społeczeństwu mogą przynieść nauki humanistyczne. Zdania nie zmieniłem. Dalej uważam, że dobrze przygotowani kulturoznawcy i socjolożki mają mnóstwo do zrobienia, a gościa, który chwali się, że ostatnia książka, jaką przeczytał, to Dzieci z Bullerbyn, uważam za młotka.

Ale bądźmy sprawiedliwi. Równie żałosny jest zadowolony z siebie humanista, który z dumą oświadcza, że nie odróżnia pierwiastka od pierwiosnka i przekonany jest, że różniczka to wyniczek odejmowanka. I nie chodzi wcale o to, żeby znać się na wszystkim.

Problem zaczyna się tam, gdzie odpuszczamy sobie myślenie, a nawet jesteśmy dumni z własnej ignorancji, bo to na niej budujemy swoją plemienną tożsamość. Na takie właśnie źródło matematycznego analfabetyzmu zwraca uwagę John Allen Paulos, autor wydanej prawie dwie dekady temu, klasycznej już książki Innumeracy. Mathematical Illiteracy and Its Consequences (w wersji polskiej Analfabetyzm matematyczny i jego skutki).

Ci sami humaniści, którzy urwą ci głowę, jeżeli błędnie napiszesz „nie” z imiesłowem, chwile później wygłaszają twierdzenia w rodzaju: „milion, miliard, co za różnica – dużo”. I choć są w stanie przez trzy godziny perorować o wpływie późnego Heideggera na koncepcję podmiotu u Foucaulta, to w momencie, gdy próbuje im się wytłumaczyć dowolny koncept matematyczny bardziej skomplikowany niż liczenie na palcach, robią maślane oczy i zasłaniają się twierdzeniami typu „jestem humanistą”, „matematyka to nie moja dziedzina”, „nie mam do tego głowy”…

Żeby było jasne: pisze to do was gość, który przez cztery lata liceum wykonał tylko jedną bardziej skomplikowaną operację matematyczną. W drugiej klasie policzyłem, że z ostatnich dwóch kartkówek muszę dostać przynajmniej 4, żeby na koniec wyszła mi dwója (jak co roku).

Potem poszedłem na studia humanistyczne. I wiecie co? Żałuję, że nie uważałem na matematyce. Szybko okazało się, że w rzeczywistym świecie pełno jest zjawisk, które daje się opisać i zrozumieć językiem analizy matematycznej, algebry czy logiki. Zewsząd wyskakiwały na mnie funkcje, pochodne, grupy albo implikacje (przepraszam za bałagan). A rozkład Gaussa to normalnie był już wszędzie. Aż się lodówkę bałem otworzyć.

Brak narzędzi matematycznych czynił mnie w wielu miejscach po prostu gorszym w tym, co chciałem robić. Sprawiał, że byłem słabszym „humanistą”. Jak język obcy, którego nie nauczyłem się na własne życzenie.

Dziś sam jestem dziadkiem – że tak pojadę klasyczną reklamą cukierków. Na wykładzie z semiotyki zmagam się np. z wytłumaczeniem studentom zjawiska pojemności informacyjnej źródła. Kluczową przeszkodą okazują się logarytmy. I to nie ich nieznajomość przez słuchaczy, lecz kompletny brak gotowości do nauczenia się nowej rzeczy „spoza dziedziny”. Choć na poprzednim wykładzie bez kłopotu rozumieli naprawdę skomplikowane modele narratologiczne, a na kolejnych – społeczne uwarunkowania komunikacji, to wmówili sobie (albo ktoś im wmówił), że zagadka „do jakiej potęgi należy podnieść X, żeby dostać Y” przerasta ich możliwości intelektualne. I nic nie pomagały groźby, prośby i bazgranie po tablicy. „Nieeeeeee! Jesteśmy humanaaaaamiiiii!”.

Wiele razy pisałem tu o tym, że traktowanie „humanów” jak idiotów jest niesprawiedliwe i szkodliwe, ale jeżeli nie chcemy być traktowani jak słabi na umyśle krewni, to się tak nie zachowujmy. Ignorancja to ignorancja. Nie ma się czym chwalić.

Czym stają się liczby dla tych, którzy nie potrafią liczyć?

czym stają się obiekty matematyczne dla matematycznych analfabetów?

No dobrze – powiecie – ale jaki jest związek między „leniwymi humanami” a Płaską Ziemią albo teoriami spiskowymi? Otóż tak jak potwór z horroru nie zniknie tylko dlatego, że zamknęliśmy oczy, tak liczby (a także funkcje, rozkłady prawdopodobieństwa i logarytmy) nie znikają w cudowny sposób z życia tych, którzy postanowili się obrazić na matematykę. Interesujące pytanie, które może w tym miejscu zadać humanista, brzmi: czym stają się obiekty matematyczne dla tych, którym nie chce się liczyć?

W ramach projektu, nad którym właśnie pracuję analizuję teorie pseudonaukowe między innymi pod tym kątem. Nie miejsce tu na referowanie szczegółowych wyników badań (które zresztą wciąż jeszcze są w toku), ale z porównania sporych zbiorów z różnych dziedzin (medycyna „alternatywna”, teorie spiskowe, Płaska Ziemia, ale także mity pseudohistoryczne) wyłania się ciekawy obraz. Obiekty matematyczne traktowane są przez twórców i odbiorców teorii spiskowych bardzo podobnie do tego, jak osoby nieznające pisma traktowały zapis. Fetyszyzowanie samego aktu pisania i nośnika, przypisywanie zapisanym słowom magicznej mocy i traktowanie ich jako relikwii czy amuletów – to wszystko w pewnej formie odnajdujemy w pseudonaukowym funkcjonowaniu matematyki.

Liczby jako liczmany

W dyskursie pseudonaukowym liczby stają się liczmanami. Służą wyrażeniu bardzo nieprecyzyjnych pojęć takich jak „dużo”, „mało” albo – paradoksalnie – „dokładnie”.

Rzucenie liczby z wieloma zerami pokazuje, że czegoś jest wiele; jeżeli te zera są po przecinku – że mało. Co ciekawe, rzucenie bardzo dokładnej liczby często przekonuje nas, że mamy do czynienia z wiarygodnym źródłem, nawet jeżeli o pochodzeniu danych nie napisano ani słowa .

Wspomniany już John Allen Paulos zwraca uwagę, że zasadniczy problem polega na tym, że jeżeli nie potrafimy przełożyć danej wartości na doświadczenie życiowe, stajemy się kompletnie bezbronni. Dla kogoś, kto w życiu nie widział więcej niż trzech krzaczków naraz, nie istnieje sensowna różnica między tysiącem i milionem drzew.

Kłopot wynika też stąd, że nie wykonujemy czynności konfrontowania napotkanych liczb z innymi wartościami, które znamy.

Asteroida ma przelecieć w „bezpiecznej odległości” 7 kilometrów od Ziemi?! Niech ktoś zadzwoni po Bruce’a Willisa!

Oczywiście powyższy zrzut może być przykładem drobnego potknięcia (zagubiło się słowo „milionów”), ale jak wielu czytelników zastanowi się, że 7 kilometrów to… mniej niż wysokość najwyższych szczytów górskich?

Podobny przykład pochodzi ze szkolnego doświadczenia jednego z moich znajomych i pokazuje wyraźnie, że matematyczny analfabetyzm to problem nie tylko astronomii. Kolega uczący w szkole zapytał dzieci, jak wyglądał świat tysiąc lat temu. Czwartoklasiści zaczęli opowiadać o maszynach parowych i „że chyba jeszcze nie było samochodów”. Te same dzieci, po kolejnym pytaniu, potrafiły podać datę chrztu Polski i mniej-więcej wiedziały, jak wyglądał świat w czasach Mieszka I. Odejmując 1000 od bieżącej daty nie wykonały jednak operacji porównania wyniku z jakąkolwiek inną datą.

Ilekroć czytam o Wielkiej Lechii, mam wrażenie zderzenia z bardzo podobnym problemem. 800 lat temu, 8000 lat temu, 80 000 lat temu… No jakoś tam dawno, w każdym bądź razie… #Starożytne

Prawdopodobieństwo

Jesteśmy kiepscy w liczeniu tego, co jest. W liczeniu tego, co może być, okazujemy się zupełnie beznadziejni. Rachunek prawdopodobieństwa jest najbardziej fascynującym obszarem matematycznego analfabetyzmu. Tam na niekorzyść matematyki przemawia cały szereg mechanizmów psychologicznych, każących nam np. przeceniać ryzyko związane z wydarzeniami spektakularnymi i nie doceniać tego związanego z niepozornymi. Większość respondentów boi się bardziej latania samolotem niż jazdy samochodem albo ataku terrorystycznego bardziej niż zawału serca.

Do tego jesteśmy w większości beznadziejni, jeżeli chodzi o obliczanie prawdopodobieństwa łącznego wystąpienia kilku niezależnych od siebie zdarzeń. Stąd rodzą się kwiatki w rodzaju: szansa zachorowania na chorobę X to 5%, szczepionka ma 90% skuteczności, czyli jak się zaszczepię, to na 10% zachoruję, a więc… szczepionki powodują choroby!!!111

Na inny istotny problem zwrócił uwagę Nate Silver, ekspert od prognozowania, popularyzator nauki i autor świetnej książki The Signal and the Noise. Otóż istnieje fundamentalna różnica między niepewnością (czyli sytuacją, w której nie wiemy, co się wydarzy), a ryzykiem (czyli sytuacją, w której oceniamy prawdopodobieństwa różnych zdarzeń). Wiele błędnych wyborów (w tym spektakularne giełdowe katastrofy) wynikało właśnie ze „swobodnej” kwantyfikacji niepewności. Problem różnych stopni matematycznego analfabetyzmu dotyczy więc nie tylko „anonimowych internetowych wariatów”, ale także ekonomistów, dziennikarzy czy lekarzy. Byłem dość przerażony, kiedy przeczytałem, że lekarze w USA potrafili pomylić się o rząd wielkości w szacowaniu ryzyka związanego z zabiegami, które przeprowadzili. Do tego większość z nich nie widziała w tym specjalnego problemu, skoro „ogólnie to bezpieczny zabieg”. Paulos cytuje rozmowę z lekarzem, który w ciągu kwadransa powiedział mu, że „szansa niepowodzenia jest jak 1 na milion” oraz że „99% operacji przebiega pozytywnie”, a także „w zasadzie to dość bezpieczna procedura”.

Naprawdę fascynujące jest jednak zjawisko redukcji obliczania prawdopodobieństwa do prostych, zmysłowych modeli poznawczych. To było coś, co uderzyło mnie szczególnie mocno podczas przeglądania niekończących się tabel, do których pieczołowicie przepisuję wyczytane w internecie mądrości. Abstrakcyjne operacje zastępowane są obrazami. Im bardziej zmysłowe i namacalne, im bliższe codziennemu doświadczeniu – tym bardziej są wiarygodne, niezależnie od tego, jak wiele mają wspólnego z oryginalnym problemem pod względem matematycznym.

Pamiętacie jeszcze otwierający tekst przykład z siłą odśrodkową? Karuzela jest właśnie takim zmysłowym modelem, dzięki któremu czujemy się zwolnieni z obliczenia siły odśrodkowej na równiku (zamiast tego wyobraziliśmy sobie karuzelę).

Dokładnie tak samo jest z prawdopodobieństwem. Mem z zatrutymi cukierkami stał się słynny za sprawą Trumpa Juniora, który zamieścił go na Twitterze w czasie ostatniej kampanii prezydenckiej:

Zamiana obliczeń związanych z prawdopodobieństwem (jaka jest szansa zginięcia w zamachu terrorystycznym? ilu uchodźców z Syrii dokonało zamachów?) na miseczkę cukierków sprawia, że abstrakcyjny problem staje się czymś namacalnym i bliskim. W międzyczasie możliwe jest jednak dowolne zamienienie proporcji, które kompletnie wypacza sens modelu. Trzy cukierki w misce, trzydzieści, co za różnica. I tak bym się nie poczęstował…

Ostateczny argument w każdej debacie dotyczącej prawdopodobieństwa, dotyczy jednak jednostkowego doświadczenia. Możesz do woli tłumaczyć, że prawdopodobieństwo danego powikłania po szczepionce wynosi [tu następuje prawdziwa, dokładna liczba dla danego NOP]. W odpowiedzi usłyszysz jednak: „Jasne. Ale co powiesz, jeżeli to akurat na TWOJE dziecko wypadnie?”

Ratunku, co robić?

W rękach matematycznych analfabetów liczby stają się doskonałym tworzywem pseudonauki. Ponieważ każdy z nas otrzymał podstawowe wykształcenie w tym kierunku, łatwo nam zaimponować cyframi i znaczkami. Odpowiedzią na pseudomatematyczne bzdury musi być konsekwentna walka z matematycznym analfabetyzmem.

Od czego zacząć?

Najlepiej, jak to zwykle w bajkach i podręcznikach rozwoju osobistego bywa, zacząć od siebie. John Allen Paulos we wspomnianej książce Innumeracy proponuje zestaw ciekawych ćwiczeń. Na rozgrzewkę świetne jest np. szacowanie różnych rzeczy. Jak myślicie, z jaką prędkością rosną wasze włosy? Albo ile czasu zajęłoby wywiezienie ciężarówkami (1 na 15 minut) całej góry Fudżi? Takie zabawy, poza tym że pozwalają rozruszać komórki mózgowe, świetnie uświadamiają nam pułapki skali i pozwalają przećwiczyć strategie „przyczepiania liczb do zjawisk”.

Następny krok to zmiana w najbliższym otoczeniu. Następnym razem, kiedy ktoś powie przy was „o nie, żadnej matematyki, jestem humanem” zadajcie mu karną całeczkę do obliczenia.

Na końcu, jak zwykle, jest system edukacji. Może na matematyce i fizyce powinno się omawiać pseudonaukowe teorie? Dostarczają wielu świetnych problemów, a nierzadko gotowych zadań – jak to z przykładu otwierającego tekst. A przede wszystkim pokazują, że matematyka naprawdę jest w życiu potrzebna. Bez niej padniemy łupem szarlatanów, którzy może też nie są ekspertami w rachunku prawdopodobieństwa, ale pieniądze często nieźle potrafią liczyć.

P.S. Jeżeli jeszcze nie wiecie, jak to możliwe z tym równikiem, i boicie się, że Ziemia jednak jest płaska, to przyjrzyjcie się uważnie wzorowi na siłę odśrodkową. Jakie znaczenie ma tu promień?