L'info a largement été relayée dans les médias, il existerait 177 147 façons de nouer une cravate, et c'est une équipe de mathématiciens et d'informaticiens suédoise qui vient de le publier. Cette étude fait suite à une autre étude qui n'avait compté *que* 85 nouages de cravates différents.

Mais concrètement, comment ont-ils compté tout ces nœuds de cravate ? Et quel est le rapport entre le film Matrix et cette histoire de cravates ? Détaillons un peu leur méthode.

Les 85 nœuds de Fink et Mao

Thomas Fink et Young Mao, deux physiciens anglais, sont les premiers à s'être formellement penché sur l'épineux problème du nœud de cravate en 1999.

Pour aborder le problème, pensons cravate. Pour avoir une belle cravate, selon Fink et Mao :

- c'est la partie large de la cravate que l'on manipule

- on commence en plaçant cette partie large du côté gauche du corps (au-dessus ou en dessous de la partie fine, selon le nœud)

- on la passe alternativement au dessus et au-dessous du nœud.

- on termine en passant ce bout à l'intérieur du nœud, pour le "fermer".

La plus simple des variantes est le nœud "quatre en main", qui s'élabore en 4(+1) étapes, de la façon suivante :

- on commence en plaçant la partie large de la cravate au-dessus et à gauche de l'autre partie (Li)

- on passe la partie large en-dessous et à droite de l'autre partie (Ro)

- on passe la partie large au-dessus et à gauche de l'autre partie (Li)

- on passe la partie large en-dessous du nœud et on la fait sortir par le col (Co)

- on passe la partie large dans le nœud de la cravate (U)

Les opérations que l'on peut finalement faire, c'est passer la partie large en-dessous (noté o) et au-dessus (noté i) de l'autre partie ; on peut, selon les situations, faire ressortir ce bout du côté droit de la cravate (R), gauche (L) ou au niveau du col (C). La dernière opération faisable, c'est celle qui consiste à passer la partie large dans le nœud de la cravate (et qui n'interviendra qu'une seule fois, à la fin) : la fermeture, notée U.

Bref, il y a 7 opérations possibles : Ro Ri Lo Li Co Ci et U. Un nœud de cravate sera alors complètement défini par une suite de ces opérations, en respectant tout de même certaines règles :

Règle 1 : on commence par Lo ou Li (commencer par Ro ou Ri entrainerait des nœuds miroirs, oublions-les).

Règle 2 : on ne peut pas faire successivement deux opérations R, L ou C identiques

Règle 3 : les opérations o et i doivent être alternées.

Règle 4 : la fermeture U n'intervient qu'à la fin, et seulement après les opérations Ro Li Co ou Lo Ri Co (car la cravate doit venir par le dessous du nœud, en passant par le côté col)

Ainsi, la succession de mouvements Lo Ri Lo Ri Co Li Ro Li Co U est tout à fait convenable (et il s'agit du nœud Grandchester, le #44 de la liste de Fink, qui requiert 9 mouvements).

En traduisant les conditions par un graphe, on peut voir qu'une succession de mouvements qui donne un beau nœud de cravate correspond à un chemin sur le graphe ci-dessous, qui commence à D et se termine en U.

On peut alors voir qu'il y a un seul nœud faisable en 3 mouvements (Lo Ri Co U, le nœud oriental), un nœud en 4 mouvements (Li Ro Li Co U, le nœud quatre en main présenté plus haut) et 3 nœuds en 5 mouvements (les nœuds Kelvin, Nicky et Pratt).

En notant a n le nombre de nœuds faisables en n mouvements, on peut remarquer que l'on a a n+2 = a n+1 + 2 a n . En se limitant à 8 mouvements au maximum, on dénombre alors 85 nœuds de cravate différents (le mouvement U final n'intervient pas dans le décompte).

La notation WTU de Vejdemo-Johansson

Sauf qu'en 2003, toute la théorie a sauté, puisque le film Matrix Reloaded est sorti au cinéma. On ne retiendra qu'une seule chose du film : la cravate porté par Lambert Wilson, qui interprète Le Mérovingien, est nouée de façon à ce que la partie large de la cravate termine en-dessous de la partie fine ! Incroyable ! Luke Housego se dépêche de créer un tutoriel sur Internet, et baptise ce nœud le nœud Edeity.



Le nœud Mérovingien, ou nœud Edeity, porté avec classe par Lambert Wilson

Séquence : Lo Ci Lo Ri Co Ri Lo Ci U

En 2008, c'est un nouveau nœud qui apparaît sur Youtube, le nœud Eldredge. Tous les tabous de la cravate sautent : ce n'est pas la partie large de la cravate qui est manipulée mais sa partie fine, celle-ci passe plusieurs fois dans le nœud et, ultime affront, elle termine sa course dans le col de son porteur !



Le nœud Eldredge

Séquence : Li Ro Ci Lo Ri Co Li Ro U Ci Lo Ci Ro U

Les règles imposées par Fink et Mao sont clairement trop restrictives, en particulier la règle n°4. Pour englober davantage de nœuds (dont le nœud Eldredge), disons plutôt que :

Règle 4' : le mouvement U peut intervenir n'importe quand, même après un mouvement L ou R, à condition qu'au moins deux mouvements au moins le précède. De plus, sous certaines conditions d'existence, on autorisera le mouvement UU (ou U²) consistant à rentrer la cravate dans deuxième couche du nœud, et, de manière générale, Uk qui consiste à rentrer la cravate dans la k-ième couche du nœud. Un tel mouvement est possible qu'après au moins 2k autres mouvements.

Il faut alors adapter les règles 2 et 3, en précisant qu'un mouvement U n'influence pas le fait que deux mouvements R, L ou C ne peuvent se succéder à l'identique, même chose pour o et i.

D'ailleurs, la notation o et i est complètement superflue. En effet, une fermeture U ne peut exister qu'après un mouvement o, où la cravate passe sous le nœud. Du coup, l'alternance o/i permet de retrouver les directions d'une séquence RLC de mouvements donnée.

Par exemple, la suite de mouvements du nœud Trinity est LCLRCRLCURLU. Le L qui précède le dernier U ne peut être qu'un mouvement de type Lo, et donc, en remontant, on peut retrouver que le mouvement initial est Li :



Le nœud Trinity (aucun rapport avec Matrix)

Li Co Li Ro Ci Ro Li Co U Ri Lo U

On peut donc se restreindre à seulement 4 symboles pour décrire le nouage de la cravate : L, R, C et U.

Enfin... Pas tout à fait, puisque l'on a pris pour hypothèse que l'on commence toujours à gauche (mouvement L). Il est donc inutile de le noter dans la liste. Comme deux mouvements L, R et C ne peuvent se succéder à l'identique, on peut se contenter de dire si le prochain mouvement est un mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre (noté T - comme Turnwise) ou dans le sens inverse (noté W - comme widdershin).

T : tourner dans le sens des aiguilles d'une montre (sens indirect) : R -> L, L -> C ou C -> R.

W : tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct) : L -> R, R -> C ou C -> L.

Par exemple, la suite de mouvement WTWTWUTTU du nœud Floating Spiral débute, comme tous les nœuds, par L. Puisque le premier mouvement est de type W, la région suivante est R. On peut ainsi en déduire la séquence complète :



Nœud Floating Spiral

Li Ro Li Ro Li Ro U Li Co U

Les 177 147 nœuds de Vejdemo-Johansson

Il est temps de dénombrer les différents nœuds de cravate. Pour cela, l'équipe de Vejdemo-Johansson a remarqué que les nœuds de cravate de 1ere espèce (où la cravate ne peut passer que sous la couche la plus récente crée au dessus du nœud) obéissent toujours au schéma ⟨préfixe⟩ ⟨développement⟩ ⟨fermeture⟩, sachant que

le préfixe peut être T ou W (ou rien).

le développement est constitué d'une suite (pouvant être vide) de paires (TT, TW, WW ou WT) et de fermetures (TTU ou WWU)

la fermeture finale est obligatoire (TTU ou WWU).

Ainsi, WWU et TTU sont des nœuds possibles (correspondant respectivement à un nœud de cravate oriental, et à un nœud où la cravate est mise comme une écharpe autour du cou...). Le nœud T.WW.WW.WWU (Windsor) correspond lui aussi parfaitement à cette description.

Ce schéma peut alors se traduire par un graphe, où les nœuds de cravates valides correspondent à un chemin débutant et terminant sur la case centrale :

Avec un peu de théorie des graphes, on peut remarquer que le nombre de nœuds de 1ere espèce de longueur n et ne comportant qu'une seule fois l'opération U est de 2n-1. En se limitant à au plus 11 mouvements (nécéssaires pour Eldredge), on compte un total de 2048 nœuds de référence fondamentalement différents, auquels s'ajoutent les variantes comptant plusieurs fois l'opération U.

On peut alors les répartir en trois classes, selon la position finale de la cravate (CU, LU ou RU), les nœuds classiques recensés par Fink et Mao sont alors ceux de la première classe, (où la différence entre le nombre de W et de T est de 2 modulo 3).



Répartition des 2046 nœuds de référence (Le U final ne rentre pas de le décompte des mouvements)

Mais ces 2046 nœuds et leurs variantes ne représentent qu'une petite portion des 177 147 différents nœuds de cravate recensés. Il faut en effet ajouter toutes leurs variantes de fermetures pour obtenir les nœuds de seconde espèce. Les conditions d'existence de ces variantes s'appuient sur des considérations sur le nombre de W et T précédant les différentes fermetures U. A titre d'exemple, TTWTUU est une séquence valide de 2nde espèce, même si elle n'obéit pas au schéma présenté plus haut.

Au final, les 2046 nœuds engendrent 177 147 nœuds de cravate, ce qui est prodigieusement... beaucoup. Ce que la théorie ne dit cependant pas, c'est le caractère esthétique de chacun de ces nœuds, point qui avait été abordé par Fink et Mao. Du coup, il est aujourd'hui impossible de savoir si nous sommes passé à côté d'un nouage de cravate inédit mêlant élégance et originalité. En attendant, vous pouvez toujours tenter de reproduire l'un des nœuds obtenu à partir du générateur !

Sources :

D. Hirsch, M. L. Patterson, A. Sandberg, M.Vejdemo-Johansson, More tie than we though (d'où provient le dernier graphe)

M.Vejdemo-Johansson, Random tie knots

T. Fink, Encyclopedia of tie knot - donne la liste des 85 nœuds de Fink et Mao

T. Fink, Y. Mao, Designing tie knots by random walks (d'où provient la première illustration)