いきなり、荒唐無稽な話になるが、

1＋1＝2

とは何を意味しているのだろうか？

さらに言えば、ここで見落とされている「数学的な視点」とは何だろうか？

奇妙な問いかけに思われるかもしれないが、これは重要な意味をもつ。なぜなら、数学の修業を積むうえで、1＋1＝2というイメージが実は邪魔になるのだ。たとえばひとつ例を挙げると、「1を無限に足していくと、マイナス1/2になる」ことが知られている。

1＋1＋1＋1＋……＝−1/2

これは大学で習う超基礎的な数学で、「解析接続」という技術を使うのだが、おそらく多くの人にとって不自然に映ると思う。「1を無限に足せば、それは無限に発散する」というのが自然なイメージだからだ。

何を隠そう、わたし自身、1＋1＝2であり、1を無限に足せばそれは無限になる、というイメージがあったばかりに、大学以降の数学につまずいたひとりである。「たす」とはもっと自由なものだと小学校で教わっていれば、あるいは大学以降の数学も「すっ」と理解できたかもしれない。

余談になるが、1を無限に足せばマイナスの値をとる、ということを利用しなければ説明できない物理現象は多々あり（たとえば、カシミール効果）、それはナノテクノロジーなどにも関係している。

さて、話を戻そう。

そもそも、「たす」とは何だろうか？

さらに問いを進めると、そもそも「数学」とは何だろうか？

そのような疑問を、わたしの友人でもある数学者・三澤大太郎（横浜市立大学・特任助教）に訊いた。

「たす」とは何か？という疑問をもった石川は今夏、理系絵本『たす』〈白泉社〉を刊行。「理系の人がつくった絵本がない」ということに気づいたことも、絵本をつくるきっかけになったという。「1＋1」は「2」じゃなくてもいい。そんな気づきを与えてくれる1冊だ。PHOTOGRAPH BY DAIGO NAGAO

ブルバキという革命

「数学の歴史をざっと振り返ると、ブルバキによってすべてが変わりました」

ここで解説しておくと、ブルバキとは主にフランスの若手数学者たちによって1935年に生み出された「架空の数学者」である。もはやこの時点で大変興味深いのだが、詳しくはWikipediaで調べていただくとして、先に進みたい。

それにしても、ブルバキによって数学が変わったというのはどういうことだろうか？

「誤解を恐れずに大胆に定義すると、ブルバキ以前の数学は『計算するための学問』でした。しかし、ブルバキによって数学は『構造を研究するための学問』に変わったのです」

…といわれても、「はー、そうですか」としか素人には言えないが、食らいついていくことにしよう。そもそも、なぜブルバキは数学という学問のあり方を変えたのだろうか？

「数学の歴史を振り返ると、革命的ともいえる転換点がありました。たとえば、ユークリッド原論（紀元前3世紀）やデカルト幾何学（17世紀）です。そしてそれに匹敵するのがブルバキの仕事で、一言で言うと『集合論』をベースに数学を再構築したのです。つまりブルバキは、数学という学問の前提条件を変え、数学の景色を変える、という大仕事をやってのけたのです」

なるほど。たとえば、どのように景色が変わったのだろうか？

「中学生でも理解できる問題だと、フェルマーの小定理があります。これは計算して解こうとするとややこしいのですが、ブルバキによって切り開かれた『構造』という観点から攻めると、わずか2行で解けちゃうのです」

フェルマーの小定理を2行で証明する数学者・三澤大太郎。PHOTOGRAPH BY YOSHIKI ISHIKAWA

三澤の話を聞けば聞くほど、現代の「高等数学」と小中高で習う「初等・中等数学」とのギャップが明らかに思えてくる。どれほどの隔たりがあるのだろうか？

「そうですね、あくまで感覚ですが、大学と高校との間には、少なくとも“200年”のギャップがあると思った方がいいですね。ぼくたちは、1＋1＝2という式から出発して数学を勉強し始めますが、それを積み上げていっても、まったく高等数学に追いつかないのが現状です。しかし、たとえば『圏論』という数学の分野を知らないと、もはや最新のコンピューターエンジニアリングにはついていけません。そのため、そもそも数学の出発地点自体を変える時期に来ていると思います」

出発地点を変えるとは、どういうことだろうか？

「1＋1＝2から始めるのではなく、現代の高等数学から逆算したときに、そもそも小学校1年生に何を教えるべきか？ これくらいの視点で物事を考えなければならない時代になっています」

「たす」を超えて

では、もし自由に数学教育を再構築してよいとすれば、三澤ならどうするだろうか？

「ぼくならおそらく、集合論から始めます」と三澤は語る。それはなぜか？

「まさにブルバキが集合論から数学を再構築したからです。実際、高等教育のカリキュラムは、ブルバキの影響を多大に受けています。その証左に、大学1年生で最初に習うのが集合論です。でも、想像してみてください。『集合とは何か？』というイメージを、小学校1年生から直観的に理解しておけば、その後の数学とのかかわり方は大きく変わってくると思いませんか？」

ちなみに、もし小学1年生が集合論を習うとすれば、次のような問題が出題されるという。

（問1）

太郎くん、次郎くん、三郎くん、花子さん、花さん、を次のようにまとめました。 A ＝｛太郎くん、次郎くん、三郎くん｝、B ＝｛花子さん、花さん｝ 集合AとBは、どんな考えでまとめられているでしょうか？

（問2）

次の空欄に当てはまる数字を答えなさい

三澤によると、問1は、集合であるための条件、つまり「その集合に属するための条件がはっきりと決められていること」を理解する問題である。この場合、Aは男性の集合、Bは女性の集合を示している。その一方、問2は集合論における「写像」という概念を理解すための問題だ。「Bのボール数＝Aのボール数×2」という対応関係になっている。

些細なことに思えるかもしれない。しかし、この「集合」という視点の先に、ブルバキはまったく新しい数学の景色をブルバキはつくってみせたのだ。

ところで、集合論から始めると、わたしたちと数学とのかかわり方はどのように変わるのだろうか？ 三澤は次のように説明する。

「いま、多くの人は数学を『計算するための道具』として応用しています。しかし、集合論をベースにすると、『新たな構造の作成・発見・理解の道具』として数学が応用されるようになります」

三澤は身近なスポーツの例を挙げてくれた。

「2012年に行われた、バスケットボールのポジション数に関する研究があります。TDA（Topological data analysis）と呼ばれる分析手法でバスケットプレイヤーの動きを分析すると、少なくともNBAにおいては、構造的に13のポジションがあるとわかったのです（ちなみに、バスケットボールのポジションは通常5つ）。

TDAは、数学のトポロジーという分野を応用した新しい分析手法です。トポロジーも、集合論の上に成り立っています。集合のなかに『位相』という概念を入れることで、点・辺・面の“つながり方”で図形を捉えるものです。角度・長さ・大きさではない視点で形をとらえるこの分野では、コーヒーカップもドーナツも同じ形になります。バスケットプレイヤーのポジションも、このような“つながり方”で見ると、13に分けられるということです」

ここまで聞いて、わたしはようやく、「数学は人類のための芸術である」（E.T.ベル）という言葉の真意を理解できたような気がする。新しい視点を提供するのが芸術の役割であるならば、ブルバキ以降の「構造を理解するための数学」は、世界の新しい関係性を気づかせてくれる芸術にほかならない。

「わかる」とは、文字通り「分ける」ことである。山々の草木の違いを知り、虫の声や空の色から季節の変化を感じる──この世界の多様さを認識し、それらの関係性を考えることは、すなわちブルバキ的な数学の視点を得ることは、わたしたちの感性を豊かなものにしてくれるに違いない。