"Les métros vont, les métros viennent", chantait Léo Ferré en vantant les mérites des stations parisiennes. Des chercheurs en mathématiques se sont, eux, intéressés aux fameuses lignes colorées. Afin de calculer quel est le plus court itinéraire pour passer par chacune d'entre elles. À qui cela peut-il servir ? "Aux touristes, aux fétichistes des trains, à Sheldon Cooper (ndlr : personnage de la série américaine "Big Bang Theory", ndlr) ou aux personnes qui auraient du temps à perdre", écrivent-ils.

Un problème de recherche opérationnelle

Le défi a amusé les Américains avec le "rapid transit challenge" ou les Anglais avec le "tube challenge" à Londres. Objectif : parcourir les réseaux de métros en un temps record, soit en visitant toutes les stations, soit en passant par toutes les lignes. L'une des versions est même reconnue par le Guiness Book des records, Adham Fisher détenant celui réalisé en 2011 à Paris en 13h37'54", pour passer par les 302 stations. Quelques travaux théoriques ont été réalisés à partir de ce problème, notamment sur le métro de Berlin. Cette fois-ci, les scientifiques se sont intéressés au métro parisien.

"Ce type de problème est connu en recherche opérationnelle (RO)* mais, à notre connaissance, n'a jamais été appliqué à un réseau de métro", explique Florian Sikora, maître de conférences au laboratoire d'analyse et de modélisation de systèmes pour l'aide à la décision (Lamsade, Université Paris-Dauphine, CNRS). En gros, un réseau de métro peut être représenté comme un multigraphe (graphe à relations multiples) orienté, où chaque sommet est une station de métro. Il y a un arc entre deux stations lorsque celles-ci sont reliées par une ligne de métro, et il apparaît de la même couleur que la ligne concernée. Un trajet potentiel est donc une suite de sommets telle que chaque paire consécutive de sommets est jointe par un arc, un même sommet pouvant être présent plus d'une fois. Le problème peut donc être posé ainsi : trouver le chemin le plus court entre deux sommets du graphe, en utilisant chaque couleur d'arc au moins une fois.

* La recherche opérationnelle est une discipline dédiée aux méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de meilleures décisions. Elle permet de rationaliser, simuler et optimiser l'architecture et le fonctionnement des systèmes de production ou d'organisation.

Résultat, pour visiter au moins une fois les 16 lignes du métro de Paris, il faut 26 étapes (voir schéma ci-dessous).

Le trajet le plus court obtenu - il en existe peut-être d'autres de la même taille - pour visiter les 16 lignes du métro parisien part d'Emile Zola et se termine à Saint-Fargeau.

A noter que ce trajet n'est pas valide dans les deux sens à cause de la portion de ligne 7bis.

Et les scientifiques se sont également demandé quelle serait la meilleure solution si nous ajoutions les 5 lignes de RER ? Aussi surprenant que cela puisse paraître, le nombre d'étapes est le même. L'utilisation de la portion de RER permet de "sauter" rapidement entre deux parties différentes de Paris et éviter de longues portions de la même ligne (notamment la quatrième étape avec la ligne 7).

En tenant compte du RER, le trajet va de Picpus à Saint Fargeau.

Les auteurs ont également établi un schéma qui évite de passer deux fois par la même station (comme c'est le cas dans les trajets ci-dessus). Et se posent encore des questions : comment améliorer le trajet en tenant compte des distances entre les stations et du temps pour faire un changement de ligne (en évitant la station Châtelet par exemple). Derrière le côté trivial de la question et sérieux du problème mathématique, il existe aussi une réalité qui pourrait bénéficier aux touristes. "Il faudrait par exemple ajouter une sorte de "bonus" pour passer par les stations spécialement belles ou les portions de lignes avec une jolie vue pour un parcours touristique adapté", expliquent les chercheurs. Ils ont même calculé, au cas où les voyageurs souhaitaient revenir à leur point de départ, quel serait le chemin le plus court pour faire une boucle en passant par toutes les stations.