Wenn Dinge zur Erde fallen oder Planeten um ihre Sonne kreisen, dann ist die Schwerkraft am Werk. Jedenfalls in der klassischen Physik nach Newton. In der Allgemeinen Relativitätstheorie dagegen spricht man nicht von Schwerkraft, sondern von der gekrümmten Raumzeit. Darstellungen dazu, wie Einstein auf die ART kam und welche neuen Effekte sich da ergeben (Gravitationswellen, Ausdehnung des Alls, Schwarze Löcher) gibt es ja ziemlich viele. Aber wie geht eigentlich der Schritt zurück? Im Alltag können wir ja nach wie vor die Newtonsche Physik nutzen und ganz normal von Schwerkraft sprechen? Wie steckt die Newtonsche Theorie in der ART drin? Soweit ich sehe, wird dieser umgekehrte Schritt in den meisten populärwissenschaftlichen Darstellungen nicht erklärt (in den Fachbüchern dagegen schon). Das ist insofern schade, weil man daran eigentlich ganz gut sehen kann, wie die ART funktioniert. Heute machen wir also genau diesen Schritt zurück von Einstein zu Newton.

In der Newtonschen Physik gibt es zwei Gesetze, die wir brauchen, um die Bewegung von Teilchen in einem Schwerefeld (z.B. fallenden Steinen oder Planeten, die sich um die Sonne bewegen) zu beschreiben. Das eine ist das Gravitationsgesetz, das uns sagt, welche Kraft zwischen zwei Körpern wirkt (wir können auch sagen, welches Schwerefeld ein Körper erzeugt), das andere ist das zweite Newtonsche Gesetz, das uns sagt, wie die Bewegung der Körper durch diese Kraft beeinflusst wird, nämlich durch eine Änderung der Geschwindigkeit.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es auch zwei Aspekte, die zusammen regeln, wie sich Teilchen bewegen. In den Worten von Wheeler: “Matter tells spacetime how to curve, spacetime tells matter how to move” [Die Materie sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmen soll, die Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll]. Für den ersten Teil des Satzes sind die Einsteinschen Feldgleichungen zuständig – die sagen vorher, wie sich die Raumzeit krümmt, wenn Materie vorhanden ist. Den zweiten Teil des Satzes regelt das sogenannte Äquivalenzprinzip. Zunächst mal sagt das, dass träge und schwere Masse dasselbe sind und sein müssen – solange keine anderen Kräfte wirken, sind Körper im freien Fall. In ungekrümmter Raumzeit (also ohne Gravitationsfelder) bewegen sie sich dann auf geraden Bahnen mit konstanter Geschwindigkeit, in gekrümmter Raumzeit bewegen sie sich auf den “geradesten” Bahnen, die möglich sind (das diskutieren wir dann später im Detail).

Aber wenn man die beiden Beschreibungen liest, dann merkt man schon, dass sie vollkommen andere Konzepte benutzen – wieso kommt am Ende trotzdem auch in der ART das ganz klassische Verhalten nach Newton heraus, wenn wir nicht gerade Neutronensterne und Schwarze Löcher betrachten?

Wichtiger Hinweis: Ich vereinfache hier die ART so weit, dass sie tatsächlich zur Newtonschen Theorie identische Vorhersagen macht – wir betrachten (das sehen wir gleich im Detail) den Grenzfall sehr kleiner Geschwindigkeiten und sehr schwacher Gravitationsfelder. Im Sonnensystem ist diese Näherung ziemlich gut, aber nicht perfekt – die berühmte Periheldrehung des Merkur ist ja genau das: eine Abweichung von der Newtonschen Theorie. Deshalb geht’s um die hier in diesem Text nicht.

In beiden Beschreibungen – so unterschiedlich sie auch sein mögen – gibt es zwei Teile: Der eine sagt, wie die Materie etwas bewirkt (Newton: “Materie erzeugt Felder”, Einstein: “Materie krümmt die Raumzeit”), der zweite Teil sagt, wie sich die Materie bewegt (Newton: “Kräfte verursachen Beschleunigungen”, Einstein: “Objekte bewegen sich auf möglichst geraden Bahnen durch die Raumzeit”). Also gucken wir uns jetzt im einzelnen an, wie diese beiden Teile jeweils zusammenhängen. Und wie auf diesem Blog üblich tue ich das in zwei Teilen; heute geht es also darum, wie Materie Kräfte erzeugt bzw. die Raumzeit krümmt.

Newton

Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich Massen ja an, und zwar mit einer Kraft

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Das habe ich ja gerade erst ausführlich erklärt, falls euch diese Gleichung also einen Schreck einjagt – einfach dem Link folgen. (Dort hatte ich die Massen mit Indices versehen, heute ist es praktischer, die eine (große) Masse mit M und die andere (kleine) mit m zu bezeichnen.

Auf der Erdoberfläche führt diese Kraft ja dazu, dass alle Objekte herunterfallen, und zwar (von Dingen wie Luftwiderstand mal abgesehen) alle gleich schnell. Insofern ist es eigentlich praktisch, den zweiten Körper aus der Betrachtung herausfallen zu lassen. Man definiert dann das Schwerefeld der Erde einfach als die Beschleunigung, die ein Objekt durch die Schwerkraft der Erde erfährt, also

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Dabei habe ich die Masse der Erde jetzt M genannt. S ist das Schwerefeld. An der Erdoberfläche ergibt sich für S gerade der Wert 9,81m/s², also genau die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche.

Für die Verbindung mit der Einsteinschen ART ist es nützlich, auch die Energie eines Teilchens im Schwerefeld zu betrachten, das so genannte Potential. Stellt euch vor, ihr habt ein Teilchen mit Masse m, das (fast) unendlich weit von der (viel größeren) Erde (Masse M) entfernt ist und lasst es los. Das Teilchen fällt auf die Erde zu und gewinnt dabei an Bewegungsenergie. Wo kommt die her? Die kommt gerade aus der Anziehungskraft, das Teilchen verliert also an Energie im Schwerefeld. (Oder anders ausgedrückt: das Schwerefeld leistet Arbeit an der Masse.) Man kann diese Energie im Schwerefeld berechnen – sie ist negativ, weil das Teilchen ja Energie verliert (und wir annehmen, dass es am Anfang genau Energie Null hatte). Heraus kommt

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Weil die Kraft auf das Teilchen proportional zu seiner Masse ist, gilt das auch für seine Energie. Wir können deshalb wie eben beim Schwerefeld die Größe unserer kleinen Masse ignorieren und eine Funktion definieren, die nur unsere große Masse M enthält:



Die Größe φ (das griechische “phi” ) nennt man auch das Gravitationspotential.