Media aritmetică ponderată

Media aritmetică ponderată (sau media ponderată) a n numere reale este egală cu suma produselor dintre ponderi şi numere, împărţită la suma ponderilor.

unde a 1 … a n ∈ R sunt numerele reale a căror medie vrem să o aflăm şi p 1 … p n ∈ R sunt ponderile (n∈N∗).

Ponderea unui număr

Ponderea unui număr a este chiar numărul care ne arată de câte ori se repetă numărul a.

Media ponderată se aplică atunci când numerele se repetă.

Exemplul 1

Avem numerele 10, 20, 30, 10, 20 şi 10.

Până acum ştiam să calculăm media aritmetică a numerelor astfel: adunam numerele (10 + 20 + 30 + 10 + 20 + 10) şi le împărţeam la numărul lor (6) şi obţineam media aritmetică: (10 + 20 + 30 + 10 + 20 + 10)/6 = 100/6

Media aritmetică ponderată simplifică acest calcul. Mai întâi stabilim ponderea fiecărui număr: avem 3 numere de 10, 2 numere de 20 şi doar unul de 30; aşadar ponderile sunt aceste numere găsite 3, 2 şi 1. Numărătorul devine conform formulei de mai sus: (3·10 + 2·20 + 1·30). Numitorul, tot conform formulei de mai sus, este suma ponderilor, adică (3 + 2 + 1). Iată acum media aritmetică ponderată: (3·10 + 2·20 + 1·30)/(3 + 2 + 1) = 100/6

Observăm că rezultatele sunt aceleaşi !

Exemplul 2

Imaginaţi-vă că avem de calculat media aritmetică a unor numere care se repetă astfel:

523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 489, 965, 523, 489, 965, 523, 489, 965, 523.

Putem calcula media aritmetică adunând şirul kilometric şi împărţindu-l apoi la numărul de elemente din şir:

(523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523 + 489 + 965 + 523)/27 = x

Sau, ştiind că numerele se repetă, putem calcula media aritmetică ponderată:

(9·523 + 9·489 + 9·965)/(9 + 9 + 9) = x

Observăm că media ponderată este mai rapidă !

Exemplul 3

Se dau numerele 10, 20 şi 30, cu ponderile 4, 5 şi 6. Să se calculeze media ponderată.

m p (10,20,30/4,5,6) = ?

m p = (4·10 + 5·20 + 6·30)/(4 + 5 + 6) = 320/15

Observaţie

* Numerele care au ponderea mai mare influenţează mai mult media aritmetică ponderată.



