Fracţii zecimale periodice

O fracţie zecimală infinită a 0 ,a 1 a 2 a 3 … se numeşte periodică, dacă există numerele naturale k şi p astfel încât a n+p = a n , pentru orice n ≥ k.

– Dacă k = 1 (adică perioada începe imediat după virgulă) => fracţie zecimală periodică simplă

– Dacă k > 1 => fracţie zecimală periodică mixtă

Exemple de fracţii periodice simple şi mixte

pentru 0,333… avem k = 1, p = 1, a n+1 = a n = 3, pentru orice n≥1

0,333… = 0,(3) = fracţie zecimală periodică simplă

4,3636… = 4,(36) = fracţie zecimală periodica simplă (k=1, p = 2)

15,723434… = 15,72(34) = fracţie zecimală periodica mixtă (k = 3, p = 2)

Fracţii zecimale finite

Fracţiile zecimale finite, prin adăugare de zerouri pot fi considerate fracţii zecimale infinite periodice.

Exemple de fracţii zecimale finite considerate infinite periodice

pentru 0,25000… avem k = 3, p = 1, a n+1 = a n = 0, pentru orice n≥3

0,25000… = 0,25(0)

pentru 0,625000… avem k = 4, p = 1, a n+1 = a n = 0, pentru orice n≥4

0,625000… = 0,625(0)

Fracţiile zecimale finite, adică de perioadă (0), se obţin atunci când prin algoritmul de împărţire se obţine la un moment dat un rest egal cu zero. După aceasta toate resturile vor fi egale cu zero.

Fracţii zecimale periodice

Orice număr raţional se reprezintă sub formă de fracţie zecimală periodică, care nu are perioada (9).

5/33 = 0,(15)

19/55 = 0,3(45)

Orice fracţie zecimală periodică, care are perioada diferită de (9), reprezintă un anumit număr raţional, din care se obţine prin algoritmul de împărţire.

Transformarea fracţiei zecimale periodice simple



– la numărător se copie toate cifrele fără virgulă şi se scad cifrele dinaintea perioadei;

– la numitor se adaugă atâţia de 9 câte cifre sunt în perioadă.

Exemple de fracţii zecimale periodice simple



0,(3) = 3/9 = 1/3

2,(4) = (24-2)/9 = 22/9

0,(45) = 45/99 = 5/11

4,(16) = (416-4)/99 = 412/99

Transformarea fracţiei zecimale periodice mixte

– la numărător se copie toate cifrele fără virgulă şi se scad cifrele dinaintea perioadei;

– la numitor se adaugă atâţia de 9 câte cifre sunt în perioadă şi 0 câte cifre sunt între virgulă şi perioadă.

Exemple de fracţii zecimale periodice mixte

0,45(3) = (453-45)/900 = 408/900 = 34/75

1,2(3) = (123-12)/90 = 111/90

0,027(45) = (2745 – 27)/99000 = 2718/99000 = 151/5500

2,58(936) = (258936 – 258)/99900 = 258678/99900

2,073(83) = (207383 – 2073)/99000 = 20531/9900



