Supposons par l’absurde que nous ayons une méthode pour 3 options ou plus pour laquelle aucun électeur n’ait jamais intérêt à mentir. Nous considèrerons seulement le cas où il y a exactement trois options en lice X, Y et Z, vu qu’on peut toujours se ramener à ce cas en imaginant que ces trois options sont unanimement préférées à toutes les autres.

Imaginons que les proportions des différents types de suffrages sont telles que X soit déclarée vainqueuse, et considérons un électeur dont l’opinion véritable est « Y puis X puis Z ». Si cet électeur remplace son suffrage sincère par un suffrage mensonger « Y puis Z puis X », alors la vainqueuse après ce replacement ne doit pas pouvoir être Y, car sinon il serait avantageux pour l’électeur de mentir, ce qui est interdit par notre hypothèse. Ainsi, remplacer un suffrage « Y puis X puis Z » par un suffrage « Y puis Z puis X » ne peut pas faire changer la vainqueuse de X pour Y. Cela ne peut pas non plus faire changer la vainqueuse de Y pour X (ce qui serait bizarre, du reste), car sinon en faisant marche arrière on ferait changer la vainqueuse de X pour Y en remplaçant un suffrage « Y puis Z puis X » par un suffrage « Y puis X puis Z », ce qui est interdit par le même argument.

Avec le même raisonnement, on peut également montrer qu’on ne peut pas non plus faire changer la vainqueuse de X pour Y ni de Y pour X en remplaçant un suffrage « Z puis Y puis X » par un suffrage « Y puis Z puis X », ni en remplaçant « X puis Z puis Y » par « X puis Y puis Z », ni en remplaçant « X puis Z puis Y » par « Z puis X puis Y » (ou l’inverse). Au final, on se rend compte qu’aucune modification de suffrage ne peut faire changer la vainqueuse de X pour Y ni de Y pour X dès lors que cette modification ne change pas l’ordre relatif entre X et Y chez le suffrage concerné.

On a évidemment la même chose en permutant les rôles de X, Y et Z : aucune modification de suffrage ne peut faire changer la vainqueuse entre X et Z dès lors qu’elle ne change pas l’ordre relatif entre X et Z chez le suffrage concerné, et aucune modification de suffrage ne peut faire changer la vainqueuse entre Y et Z dès lors qu’elle ne change pas l’ordre relatif entre Y et Z chez le suffrage concerné. Par conséquent, la vainqueuse de l’élection dépend uniquement de la proportion de suffrages chez lesquels X est classée devant Y, de la proportion de suffrages où Y est classée devant Z et de la proportion de suffrages où Z est classée devant X, puisque si aucune de ces trois proportions n’est modifiée, la vainqueuse ne peut changer ni entre X et Y, ni entre X et Z, ni entre Y et Z.

Du coup, à toute valeur possible $(q_{XY},q_{YZ},q_{ZX}) \in [0,1]^3$ du triplet (« proportion de suffrages où X est classée devant Y », etc.), notre méthode associe une vainqueuse parmi $\{X,Y,Z\}$. On peut alors diviser l’espace tridimensionnel (ou plus précisément la partie de l’espace correpondant aux triplets possibles) en trois zones « X », « Y » et « Z », où la zone X est l’ensemble des points dont les coordonnées sont un triplet $(q_{XY},q_{YZ},q_{ZX})$ pour lequel X est déclarée vainqueuse, etc. : voir le dessin ci-dessous.

Représentation des préférences binaires entre X, Y et Z

Puisque faire changer la vainqueuse de X pour Z impose de modifier $q_{ZX}$, cela signifie que la frontière entre les zones X et Z doit correspondre (localement) à une valeur constante de $q_{ZX}$, autrement dit que cette frontière est horizontale. Or, quand $q_{XY}$, $q_{YZ}$ et $q_{ZX}$ sont toutes les trois égales, les trois options jouent des rôles complètement symétriques, de sorte qu’on se situe nécessairement à la frontière entre les trois zones à la fois ; par conséquent, la droite « $q_{XY} = q_{YZ} = q_{ZX}$ » est en particulier contenue dans la frontière entre les zones X et Z, et donc est horizontale. Mais cela n’est pas vrai vu que $q_{ZX}$ varie le long de cette droite ! La seule manière d’éviter cette absurdité est de conclure que notre hypothèse de départ était fausse, autrement dit qu’aucune méthode électorale démocratique pour 3 options ou plus n’est robuste à la manipulation.