Les séries (sommes de suites) deviennent à la mode au bac

mardi 3 octobre 2017

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Voici un extrait de l’article « suites et séries » de l’Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers de 1751 (article rédigé par d’Alembert) :

« se dit d’un ordre ou d’une progression de quantités, qui croissent, ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s’approchant de plus en plus de quelque quantité finie (...) on l’appelle une suite convergente, et si on la continue à l’infini, elle devient enfin égale à cette quantité.

Ainsi, 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64, &c forment une suite qui s’approche toujours de la quantité 1, & qui lui devient enfin égale, quand cette suite est continuée à l’infini. »

On voit que d’Alembert considère que les termes d’une suite numérique ont vocation à être additionnés (d’où leur nom de « termes ») dans une série numérique, qui peut être convergente (exemples : suites géométriques, inverses des factorielles) ou divergente (exemples : le sujet du bac S USA de 2017 ci-dessous, la série harmonique). Or pour calculer la série à partir de la suite, on utilise cette formule récurrente :

s n+1 = s n +u n+1

Cette formule peut se traduire par l’algorithme suivant :

s ← s+u

Malgré cette simplicité, l’algorithme est souvent difficile à mettre en place et la notion de série difficile à formaliser, probablement à cause de lacunes sur les suites, mais aussi sur la notion de récurrence.