Le mathématicien John Forbes Nash est mort à l'âge de 86 ans. L'occasion de revenir sur sa spécialité, la théorie des jeux. AFP/aaron tam

Le mathématicien américain John Forbes Nash est mort à l'âge de 86 ans. Ci-dessous, un article datant de mai 2013 où il est question de sa spécialité, la théorie des jeux.

« Gouverner, c'est choisir », disait Pierre Mendès France. S'il n'est pas toujours facile de gouverner, au moins la théorie des jeux et ses outils en pleine expansion peuvent-ils nous aider à faire des choix raisonnés dans bien des situations pratiques : organisation des réseaux de communication, ordonnancement des tâches, gestion du flux automobile ou des mariages...

Commençons par quelques questions pour montrer que notre intuition des probabilités est facilement faussée, induisant de mauvais choix. A partir de combien de personnes réunies dans une pièce la probabilité de trouver une date d'anniversaire commune est-elle supérieure à 1/2 ? La réponse est 23. Et, dès qu'il y a 57 personnes, cette probabilité monte à 99 %. Ces réponses qui peuvent choquer l'intuition première sont pourtant bien établies par les calculs élémentaires de probabilité.

LE JEU DES TROIS PORTES FERMÉES

Autre exemple troublant. Vous participez à un jeu où l'on vous montre trois portes fermées. Derrière l'une de ces trois portes se trouve un prix (dont on suppose qu'il vous intéresse...) et rien derrière les deux autres portes. Première étape, le meneur de jeu vous demande de désigner une porte (mais il ne l'ouvre pas). Deuxième étape : le meneur ouvre une des deux autres portes où il n'y a rien. Il reste donc deux portes closes, l'une avec un prix derrière et l'autre avec rien.

Dans cette dernière étape, celle de l'ouverture de la porte, le meneur de jeu vous demande si vous préférez conserver votre choix initial et ouvrir cette porte, ou bien si, au contraire, vous préférez changer de choix et ouvrir l'autre porte. Autrement dit, qu'avez-vous intérêt à faire pour maximiser vos chances de gagner ?

Il vaut mieux changer de choix et ouvrir l'autre porte, car vous aurez alors deux chances sur trois de gagner le prix, alors que vous n'en aurez qu'une sur trois si vous persistez dans votre choix initial.

"PARADOXE DE MONTY HALL"

Si vous n'êtes pas convaincu, imaginez le même jeu où l'on vous demande de désigner une carte au hasard parmi 52 cartes face cachée, puis on retourne 50 autres cartes qui ne sont pas l'as de pique. Parmi les deux cartes restantes, où pensez-vous que se cache l'as de pique ? Les probabilités sont dans ce cas de 1/52 si vous conservez votre choix initial et de 51/52 (un peu plus de 98 %) si vous modifiez votre choix, parce que vous aurez retourné en tout 51 cartes sur 52.

Décliné sous la forme de jeux télévisés à partir des années 1960, ce "paradoxe de Monty Hall" a fait le bonheur de présentateurs dont tout le talent (et l'intérêt) consistait à convaincre les candidats naïfs de ne pas changer de choix...

La bonne connaissance des caractéristiques d'un jeu peut ainsi aider à gagner. Comme au black jack, un jeu de cartes américain qui se joue dans les casinos, où cette connaissance peut se révéler précieuse : les personnes qui parviennent à se souvenir des cartes déjà sorties peuvent analyser leur probabilité de gagner, en fonction des cartes qui ne sont pas sorties, et miser au bon moment. Plusieurs équipes ont défrayé la chronique, utilisant cette technique dite du comptage de cartes pour berner nombre de casinos à travers le monde.

CHOIX STRATÉGIQUES

Les choix stratégiques que l'on peut faire, par exemple lors d'une élection, sont concernés également par des considérations probabilistes, menant parfois à des paradoxes. Ainsi, il est possible, lors d'un vote où l'on demande de classer trois candidats (A, B et C) par ordre de préférence, qu'une majorité de votants préfère A à B, qu'une autre préfère B à C, mais qu'une autre choisisse C plutôt que A ! C'est parce que la relation de préférence n'est pas transitive que ce paradoxe, énoncé par Nicolas de Condorcet en 1785, apparaît.

Ce sont les mêmes genres de relation de non-transitivité que l'on trouve dans le jeu populaire pierre-feuille-ciseaux.

Au-delà de la compréhension individuelle de la multitude de jeux qui existent, les mathématiciens ont commencé à formaliser des problèmes de stratégies et de choix à travers la théorie des jeux. Le jeu s'entend ici comme une confrontation entre deux joueurs, comme le cas du jeu pierre-feuille-ciseaux, mais avec un gain variable associé à chaque victoire, de sorte que l'on puisse opter pour une stratégie qui optimise ce gain au bout d'un certain temps.

THÉORÈME DU MINIMAX

Des considérations économiques donc qui guident les pionniers de cette formalisation, dont le mathématicien américain John von Neumann donnera le premier exemple à travers son théorème du minimax, démontré en 1928. Ce théorème stipule que dans un jeu à deux joueurs et de somme nulle (la somme des gains potentiels de tous les joueurs est nulle), il existe une valeur moyenne représentant ce que peut gagner le premier joueur au détriment du second joueur si ceux-ci jouent de manière rationnelle (c'est-à-dire en cherchant à optimiser leurs gains).

C'est un autre mathématicien, John Nash, qui étendra dans les années 1950 les travaux de von Neumann en s'attaquant aux jeux à plus de deux joueurs à somme non nulle (la somme des gains de tous les joueurs peut être quelconque). Il établira la notion d'équilibre de Nash : un point d'équilibre du jeu où tous les joueurs se disent satisfaits du résultat. Par exemple, dans le jeu pierre-feuille-ciseaux, un équilibre de Nash est atteint si les joueurs jouent chaque coup avec une probabilité de 1/3. Pour ce résultat et d'autres contributions en théorie des jeux, Nash recevra le prix Nobel d'économie en 1994.

THÉORIE DES JEUX

Cet intérêt des économistes pour la théorie des jeux s'est accéléré dernièrement. Alors que le prix Nobel d'économie récompensait le plus souvent des résultats en économie pure, en sciences sociales ou sur les négociations, les derniers prix Nobel, dont celui attribué au mathématicien américain Lloyd Shapley en 2012, témoignent de la montée en puissance de la théorie algorithmique des jeux. Le problème de l'équilibre de Nash, c'est que, bien qu'il s'agisse de points stables sur le plan théorique, dans un jeu complexe, rien ne garantit que l'on va converger vers ces points. Dans la plupart des cas, ils sont incalculables.

Mais, dans plusieurs jeux, Lloyd Shapley a montré que le problème a au moins une solution stable qui est l'équilibre de Nash. L'exemple le plus connu est le problème des mariages stables. Il consiste à trouver, étant donné un certain nombre d'hommes et autant de femmes, une façon stable de former des couples sans que personne y trouve rien à redire (sans qu'aucune femme ni qu'aucun homme préfère être avec un autre partenaire). Non seulement Shapley a montré l'existence de plusieurs solutions stables à ce problème mais, avec son collègue David Gale, il a donné une solution algorithmique, c'est-à-dire une manière de calculer ces solutions.

L'ALGORITHME DE SHAPLEY

Le problème des mariages stables est une version simplifiée des problèmes d'appariement optimal, où l'on cherche à affecter des étudiants dans des établissements à effectifs limités en tenant compte des préférences de tous (la procédure automatisée d'entrée au collège Affelnet, la procédure d'admission postbac, etc.). Des problèmes dont les solutions stables peuvent se calculer par l'algorithme de Shapley.

De manière générale, l'optimisation issue de la théorie des jeux est au coeur des préoccupations de notre monde numérique. Pour le routage des réseaux sans fil, par exemple, le problème consiste à faire voyager le plus vite possible des paquets de données d'un point à un autre en passant par de multiples relais intermédiaires.

"Pour résoudre ces problèmes, on tire au hasard un chemin par lequel on fait passer un paquet de données. Puis on répète l'opération. En mesurant les performances de chaque paquet, on va apprendre progressivement les bons chemins pour choisir au final le chemin optimal", explique Corinne Touati, spécialiste de la théorie des jeux au Laboratoire d'informatique de Grenoble.