ヘンリー・シーガーマンは2016年春、Facebookで変わった投稿を見つけた。書いたのは心的イメージを描けたことがないというプログラマーだ。この症状は「アファンタジア」と呼ばれる。

シーガーマンはすぐに、自分が同じ限界を抱えて生きていることがわかった。「思い描こうとしても何も見えないのです」と言う。不思議な話だ。というのもシーガーマンは数学者でオクラホマ大学の助教授でもあり、複雑な数学的形状の視覚化が生業なのだから。

数学者の頭のなかにある「4次元対称性」のような深遠な幾何学を、学生や学者が触れられるものとして取り出すために3Dプリント技術を活用する方法を、シーガーマンは探求している。「わたしは3次元で見ることができません。ましてや4次元なんて」と語る。

この20年間で、数学者が複雑な形を見る場合にはデジタル画像に頼ることが増えた。しかし、物理的に表現して初めて明らかになるような特性や対称性が存在する。

つくったものに色や陰影をつけて立体的に見せる「デジタルレンダリング」は、たとえ回転できるものであっても、結局のところ2次元の画像の集まりにすぎない。3次元空間ならともかく、4次元空間における形を研究しようとするときには、さらに多くのものが失われてしまう。「そうしたものは象徴でしかありません。わたしは実際に見たい。自分の手に持ちたいのです」とシーガーマンは語る。

3Dプリンターであらゆるものを立体的に

シーガーマンは数学を駆使し、そして3Dプリンター用のコードに翻訳して、回転放物面から双曲空間のハニカム構造まで、あらゆるものの物理的表現をつくり出す。その一部は、彼の著書『Visualizing Mathematics with 3D Printing（数学を3Dプリンティングで視覚化する）』で見ることができる（文末に動画）。

この本では各章で、シンメトリーや曲率といった幾何学の概念が、複雑な3次元の形を使って説明されている。3次元の形を3DプリントサーヴィスのShapewaysに注文して、自ら考察することもできる。

3Dプリント以前の数学者は、形の物理的表現が欲しければ石膏型か木彫りに頼るしかなかった。ジェームズ・マディソン大学の数学者ローラ・タールマンは、工具店に行ってひもや木の棒のくずをあさっては、複雑な結び目やヒンジで繋がった面のモデルをつくっていたことを覚えている。

「数学者が考えているオブジェクトは2次元を超えていて、思い描くのが難しい傾向があります。そうしたオブジェクトを認識するには、物理的構造、配置、対称性の理解が不可欠なのです。そして、店に行けば五角六十面体を買えるというわけではありません」とタールマンは語る。2年間の休職期間中、3Dプリント業界のコンサルティングをしていたという。

4次元オブジェクトの「影」で遊ぶことができるパズル「クインテッセンス」。PHOTOGRAPH BY CHRISTIE HEMM KLOK/WIRED US

シーガーマンは、（人間の手では）不可能な精度で形をつくり出す3Dプリントの潜在能力にいち早く気がついた数学者だった。まず自分が興味をもった数学上の概念を物理的に表現することから始め、やがてほかの数学者たちの研究の助けになるモデルをつくるようになった。

それからパズルをつくり、さらには数学に着想を得た、芸術的な形をつくるようになった。シーガーマンはそうしたオブジェクトを、世界各地のギャラリーや数学がテーマの展覧会に出品している。

シーガーマンは、大学院の学位がなければ理解できないような数学上の概念を、形を使って説明することに何よりも喜びを感じている。例えば、「Geodesic Saddle」は、何十個もの正三角形がヒンジでつながっており、テーブル上に広げると、1つの点の回りには正三角形をちょうど6個並べることができる。

7つめの三角形は、その平面にしわを寄せる。ユークリッド空間を飛び出し、装飾用の小さな敷物のようなテクスチャがもたらされる。こうしてこの立体芸術は、想像が困難な位相幾何学上の概念である「負曲率」の実例になる。

4次元オブジェクトの「影」で遊ぶパズル

4次元を実際に知覚することができないなかで、いかに4次元の数学を行うかを探究する「Grid」も、シーガーマンの人気オブジェクトのひとつだ。彼は説明する。仮にわれわれが2次元の世界にいるとしたら、3次元空間のオブジェクトを見ることはできない。しかし、そのオブジェクトの2次元の平面に投じられた影は、ゆがんではいるが見ることができる、と。

「Grid」は要するに、地図の投影法（専門的には「ステレオ投影」）だ。その球体の上に位置する光源が、曲面を平面に投射する。2次元の住人は、球体を知覚できないとしても、その上に描かれた格子模様（Grid）の影は見ることができる。それと同じことで、われわれ3次元の世界の住人は、4次元空間のオブジェクトの、われわれの次元に入り込んできた影を知覚することは、理論的にはできる。

シーガーマンと同僚のソール・シュライマーは、4次元オブジェクトの「影」で遊べる一連のパズル「クインテッセンス（Quintessence）」を作成している。3次元の形の側面が2次元の多角形から成るのと同じように、4次元の形の「側面」は3次元の多面体からなり、数学者はこれを「セル」と呼ぶ。

シーガーマンらは、側面が正十二面体である「120セル（正百二十胞体：Regular hecatonicosachoron）」と呼ばれる有名な4次元多胞体のセルを見ていくために、クインテッセンスシリーズをつくった。正十二面体からなる「リブ」を組み合わせて120セルの影をつくるパズルだ。完成させるのは難しいが、4次元空間の特性について多くの学びを得ることができる。

シーガーマンは、理論数学と戯れるために仮想現実（VR）も活用している。eleVRという研究グループと共同で、「Hypernom」という4次元のパックマンのようなゲームを制作した。VRゴーグルを装着し、4次元のオブジェクトを進みながらすべてのセルを食べ尽くすゲームだ。次元の高い4次元の世界で目的を達成する方法を、不完全な3次元の直観ですぐに把握できると期待してはいけない。

シーガーマンが開発しているVRのおもちゃはこのゲームだけではない。いつかは、折り目をつけることなく球体を裏返すパズルを完成させるだろう。理論上は可能なのだ。