Des physiciens ont mis en équation la courbure des feuilles et des plaques fines. jkfid /Flickr CC by 2.0

Jusqu’où peut-on déplier dans le vide un mètre ruban à enrouleur avant qu’il ne se torde ? Jamais assez loin, répondront les bricoleurs, trop souvent frustrés par la flaccidité traîtresse de l’instrument… L’interrogation semble triviale mais elle a un lien avec des travaux de recherche tout à fait sérieux.

L’énigme du mètre ruban est assez proche en effet de la question suivante : comment rendre rigide une feuille de papier, sans aucun subterfuge physico-chimique ? Une solution simple est de la courber en son centre en la plissant autour d’un doigt. Il se forme comme une gouttière qui s’élargit loin du doigt. Le physicien curieux se pose alors une autre question : sur quelle longueur la feuille reste-t-elle courbée ? Quand redevient-elle plate, et donc fragile ? Voire jusqu’où le fameux mètre ruban restera-t-il rigide ?

La réponse a pris plus de trois ans à une équipe française de chercheurs de l’Ecole polytechnique, des universités de Grenoble et d’Aix-Marseille et du CNRS pour en venir à bout, comme ils l’expliquent dans Physical Review Letters du 21 novembre. « Nous avons assez vite fait les expériences et obtenu les résultats mais nous n’avions pas de modèles pour les expliquer ! », se souvient Yoël Forterre, de l’université d’Aix-Marseille.

Trois images (identiques) de l'expérience de courbure d'une feuille de plastique

Il faut dire que les équations décrivant cette mécanique pas si simple sont en fait insolubles dans la plupart des cas, à moins de recourir à des simulations numériques lourdes.

Deux phénomènes sont en compétition. Rester courbé « coûte » un peu d’énergie au matériau, car la feuille est naturellement plate, mais s’aplatir à partir d’une forme courbée coûte encore plus d’énergie, car cela étire la feuille. Un peu comme lorsque l’on veut étaler une feuille sur une sphère.

Après quelques simplifications, les chercheurs sont tout de même arrivés à trouver la formule donnant la longueur dite de persistance au bout de laquelle la feuille redevient plate. Surprise ! Cette longueur ne dépend pas des propriétés élastiques du matériau. Que ce soit une feuille de cuivre, d’aluminium, de papier ou de plastique, le résultat est le même (sous réserve d’être dans un régime assez peu rigide). Plus la feuille est mince, plus la longueur de persistance est grande. De même si le ruban est large.

Avis donc aux architectes qui voudraient apporter de la rigidité par la seule grâce de la géométrie : ces formules leur permettront de mieux calculer leur structure. Avis aussi aux botanistes qui s’intéressent à la croissance des plantes et à leur rigidité. Les feuilles de maïs ou de blé par exemple ont justement une extrémité qui épouse la courbure de la tige tandis que l’autre est plate. La longueur de déploiement de ces feuilles serait-elle donnée par les mêmes équations que celles du ruban de l’expérience ? Si c’est le cas, alors la mécanique, et pas seulement la génétique, contraindrait la géométrie.