Представляем вашему вниманию еще одну увлекательную игру , о которой рассказывает ее создатель Антонио Грамши.

В стратегических играх, в которых уничтожается игровой материал противника (в шахматах и шашках это взятие фигур и шашек соответственно, в го — пленение камней и т. д. ), комбинации чаще всего основаны на материальной жертве. Если уничтожения не происходит (как, например, в рэндзю), понятие жертвы не имеет смысла: комбинация сводится к серии так называемых обозначений — угроз коротких матовых атак, складывающихся, в свою очередь, в единую матовую атаку более высокого уровня.

Мы познакомим вас с игрой нового типа, где уничтожения не происходит, но, тем не менее, производятся жертвы — правда, не материальные, а позиционные. Они состоят в укреплении позиции противника. При этом, по замыслу каждого из игроков, своя собственная позиция укрепляется сильнее: получается, что на самом деле речь идет о косвенном ослаблении. Назовем такой тип игрового взаимодействия псевдокооперацией. В парселе она достигается за счет нейтрального игрового материала, принадлежащего обоим игрокам.

Пять правил парселя (от французского parcelle — маленький земельный участок, надел), набранные в тексте выделенным шрифтом, просты и логически взаимосвязаны, но основаны на тонких математических идеях, поэтому для их понимания и освоения потребуются определенные интеллектуальные усилия.

Игровое поле представляет собой квадрат на бумаге в клетку, поделенный на 7х7=49 клеток. Вдоль нижней горизонтали и левой вертикали стоят ряды латинских букв и чисел от 1 до 8 соответственно, задающих координаты вершин — углов клеток (рис. 1).

Рисунок 1 Игровое поле

1. Играют двое. Каждым ходом соперники поочередно выставляют (вычерчивают) по отрезку определенного цвета на одно из ребер — сторон клеток. Один игрок — назовем его «синими» — выставляет синие отрезки; другой — назовем его «красными» — красные. Начинают синие. Отрезок на каждом ребре можно вычертить всего один раз — там он остается до конца партии. Можно пропускать ход.

Примеры возможных ходов приведены на рис. 2.

Рисунок 2

2. Отрезок, касающийся хотя бы одним концом уже выставленного отрезка противника, становится зеленым. Изолированные зеленые отрезки выставлять запрещено.

Здесь возможны два ничем принципиально не различающихся случая: когда отрезок касается только одним концом (рис. 3a) или обоими концами отрезков противника (3b).

Рисунок 3а и 3b На рис. 3a отрезок красных, выставленный на ребро [d-e5], становится зеленым, поскольку он касается отрезков синих в вершине d5. На рис. 3b отрезок синих, выставленный на ребро [d4−5], становится зеленым, так как он касается красных отрезков в вершинах d4 и d5.

Зеленые отрезки и ломаные можно считать нейтральным игровым материалом, принадлежащим обоим противникам.

3. Запрещается «протыкать» зелеными ломаными синие и красные ломаные.

Это означает, что если зеленый отрезок касается красной или синей ломаной в некоторой ее внутренней вершине с одной стороны, то нельзя выставлять зеленый отрезок, отходящий от этой же вершины с другой стороны ломаной (рис. 4a-b).

Рисунок 4а и 4b На рис. 4a желтым цветом выделено ребро [c-d5], на которое синим нельзя выставлять зеленый отрезок, так как получающаяся при этом зеленая ломаная [c-d-e5] «проткнула» бы красную ломаную [d4−5-6] в вершине d5. Красные же могут выставить отрезок своего цвета на это ребро. На рис. 4b схожая ситуация, но тот же зеленый отрезок нельзя выставлять уже и красным.

Перейдем к ключевому для игры понятию — участку.

Участок — это связное множество клеток, отделенное от остальной части поля некоторой ломаной, называемой границей. Связность клеток внутри участка означает, что любые две из них можно соединить маршрутом, состоящим из вертикально-горизонтальных перемещений по клеткам участка, и таким, что он не пересекает уже выставленных отрезков.

Пример участка приведен на рис. 5.

Рисунок 5 Граница розового участка выделена красным цветом. Не входящие в нее ломаные выделены коричневым цветом.

Из рисунка, а также общих соображений ясно, что граница состоит из одной или нескольких циклических ломаных — граничных циклов. Например, граница розового участка на рис. 5 состоит из трех граничных циклов.

Участок считается имеющим определенный цвет — синий или красный, если его граница состоит из отрезков этого цвета с возможным, но необязательным включением зеленых отрезков. Из этого определения следует, что граница участка определенного цвета имеет в своем составе хотя бы один цикл, содержащий отрезок этого цвета. Остальные отрезки границы могут быть зелеными. На рисунках 6a-b-c приведены примеры участков определенного цвета.

Рисунок 6а, 6b и 6с Красные участки выделены розовым и оранжевым цветами, синие — голубым и фиолетовым. На рис. 6a имеется один красный, на рис. 6b — два красных, а на рис. 6c — два синих участка. Ломаные, не входящие в граничные циклы, по‑прежнему выделены для наглядности коричневым цветом (в реальности они составлены из синих, красных или зеленых отрезков).

Участок, не имеющий определенного цвета, назовем неопределенным. Свойства неопределенного участка вытекают из простого отрицания свойств участка определенного цвета: либо все входящие в его границу циклы являются нейтральными — то есть содержат лишь зеленые отрезки, — либо один из его граничных циклов является смешанным, то есть включает как синие, так и красные отрезки (рис. 7).

Рисунок 7 Участок {a6-a4-d4-d6}, выделенный серым цветом, — неопределенный, так как его граничный цикл смешанный. Неопределенность одноклеточного участка {f3-f2-g2-g3} обусловлена тем, что его единственный граничный цикл нейтральный.

Зацикливание — это ход, в результате которого на поле появляется новый участок.

4. Зацикливание можно совершать только в том случае, если при этом образуется хотя бы один новый участок определенного цвета.

Это правило проиллюстрировано на рис. 8a-b-c.

Рисунок 8а, 8b и 8с На рис. 8b синие совершают зацикливание выставлением своего отрезка на ребро [e5−6], выделенное на рис. 8a желтым цветом. В результате образуется синий участок {c4-e4-e6-c6}. Зацикливание могут совершить и красные, выставляя на то же ребро зеленый отрезок. При этом образуется аналогичный синий участок (рис. 8c).

Из вышеприведенного правила следует, что зацикливание нельзя совершать, если в результате его применения образуются только неопределенные участки (рис. 9a-b).

Рисунок 9а, 9b На ребро [e4−5], выделенное на рис. 9a желтым цветом, нельзя выставлять отрезок своего цвета как синим, так и красным, так как при этом образовался бы только неопределенный участок {c6-c4-e4-e6}, ограниченный единственным смешанным граничным циклом (c6-c4-e4-e6). По той же причине ни синим, ни красным нельзя выставлять на ребро [e5-e6], выделенное на рис. 9b желтым цветом, зеленый отрезок. В последнем случае неопределенность участка обусловлена нейтральностью единственного его граничного цикла.

Из правила зацикливания следует также, что смешанный или нейтральный граничные циклы допустимы только в том случае, если они появляется одновременно хотя бы с одним новым участком определенного цвета (рис. 10a-b-c).

Рисунок 10а, 10b и 10с Синие могут выставить на ребро [d4−5] (оно выделено на рис. 10a желтым цветом) отрезок своего цвета несмотря на то, что при этом образуется смешанный цикл (a6-a4-d4-d6), ограничивающий соответствующий неопределенный участок, так как одновременно возникает синий участок {d6-d4-e4-e6} (на рис. 10b он выделен фиолетовым цветом). На это же ребро красные могут выставить зеленый отрезок, несмотря на то, что при этом образуется нейтральный цикл (d6-d4-e4-e6), ограничивающий соответствующий неопределенный участок, так как одновременно возникает красный участок {a6-a4-d4-d6} (рис. 10c).

5. Если оба противника по очереди пропускают ход, партия заканчивается. После этого для каждого игрока определяется суммарная площадь принадлежащих ему участков — то есть участков определенного цвета, выраженная в числе клеток. Площади неопределенных участков при этом не учитываются. Побеждает тот игрок, у которого суммарная площадь участков больше.

Синие, начинающие партию, имеют преимущество. Поэтому в условие выигрыша желательно ввести фору, которую синие дают красным в виде некоторого нецелого числа очков (нецелого — чтобы избежать ничьей). Размер форы автору пока точно не известен, так как не набрана достаточная статистика. Для поля 7х7, вероятно, можно ограничиться форой, равной 1,5 очков.

Предположим, что рисунок 11 представляет позицию в законченной партии (в действительности конечные позиции получаются намного более сложными).

Рисунок 11

У синих два участка — {d7-d6-e6-e7} и {d6-d4-e4-e6}. Первый имеет площадь, равную 1, второй — 2. Их суммарная площадь равна 1+2=3. У красных один участок, ограниченный двумя граничными циклами (e4-e1-h1-h4) и (f3-f2-g2-g3). Его площадь равна 8. Кроме того, они получают фору от синих, следовательно, общая сумма их очков составляет 8+1,5=9,5. Так как 9,5>3, красные выиграли.

Приведем еще два способа уравнивания шансов.

1. Для синих вводится ограничительный прямоугольник 2 3 клеток, в центре которого расположен их первый отрезок. Это означает, что второй отрезок синих должен выставляться за границами этого прямоугольника, причем сама его граница тоже входит в запретную зону. Остальные ходы совершаются без дополнительных ограничений (рис. 12).

Рисунок 12 Допустим, синие первым ходом выставили отрезок [d4−5]. Тогда следующим ходом, независимо от ответного хода красных, они могут выставить отрезок лишь за пределами прямоугольника, выделенного коричневым цветом — в частности, их ближайший второй отрезок может выставляться на одно из ребер цикла, выделенного желтым цветом.

2. Синие предлагают несколько альтернативных вариантов второго хода, из которых красные выбирают один. Вероятно, оптимальное число вариантов равно трем.

Арсенал тактических приемов в парселе огромен и заслуживает отдельного рассмотрения. Ограничимся теми двумя из них, что играют определяющую роль в начальной и конечной стадии игры соответственно. В начальной стадии игры важным приемом является сшивка с прорехой — соединение двух изолированных ломаных противника зеленым отрезком (рис. 13a-b).

Рисунок 13а, 13b На рис. 13a желтым цветом выделено ребро [d4−5], куда синие могут выставить зеленый отрезок, «сшивая» красные ломаные. Красные двумя последующими ходами не в состоянии закрыть все 4 возможные продолжения для синих, выделенные на рис. 13b желтым цветом. В результате в их ломаной образуется «прореха», через которую могут проходить ломаные синих.

На средней и заключительной стадии игры важную роль играет внедрение своего участка внутрь участка противника, который таким образом уничтожается (14a-b-c-d).

Рисунок 14а, 14b и 14с Рис. 14a: у красных имеется крупный участок {a6-a4-e4-e6}. Рис. 14b: синие ходом [d4−5] внедряют в него свой участок {d6-d4-e4-e6}. В результате красный участок полностью уничтожается, поскольку оставшийся участок {a6-a4-c4-c6} неопределенный. Рис. 14c: чтобы хоть что-то отвоевать от прежнего участка, красные выставляют отрезок [c4−5], образуя неуязвимый для атак синих участок {a6-a4-c4-c6}, имеющий уже меньшую площадь.

Рисунок 14d Рис. 14d: ходом на [f-g3] синие уничтожают красный участок {e4-e1-h1-h4)}, внедряя в него участок {f2-g2-g3-f3}. Могут ли красные вернуть часть уничтоженных клеток своего бывшего участка?

В процессе уничтожения могут возникать и более сложные конфигурации из нескольких вложенных друг в друга циклов (рис. 15a-b).

Рисунок 15а, 15b На рис. 15a у красных имеется участок {c6-c3-f3-f6}. Синие ходом [e4−5] уничтожают его, внедряя в него одноклеточный участок, выделенный на рис. 15b голубым цветом.

Рекомендуем читателю придумать и разобрать еще более сложные конфигурации. Для этого, возможно, потребуется перейти к полям более крупных размеров — 9х9, 11х11 и т. д.

В парселе красные не в состоянии применить симметричную стратегию, надеясь уравнять суммарные площади участков и, пользуясь правилом форы, с легкостью выиграть партию (а если бы не было форы, то свести ее к ничьей). Это обусловлено правилом запрета на зацикливание, при котором образуются только неопределенные участки (см. рис. 16a-b-c-d).

Рисунок 16а, 16b, 16c, 16d Рис. 16a: синие первым ходом выставляют отрезок [d-e5]. Рис. 16b: красные в ответ выставляют симметричный ему относительно центра поля отрезок [d-e4]. Рис. 16c: синие выставляют зеленый отрезок [d4−5]. Рис. 16d: красные не могут ответить симметричным отрезком [e4−5], поскольку тогда образовался бы только неопределенный участок {d5-d4-e4-e5}.

В отличие от го, где стратегическое развитие имеет ярко выраженный центростремительный характер (от краев поля к центру), в парселе оно центробежное: противники сначала стараются развиться в центральной зоне — в ней достигается наибольшее влияние на остальную часть поля, — после чего оттесняют друг друга на периферию. Это связано с тем, что циклы должны быть полными: в них не могут входить не занятые игровым материалом края поля, как в го.

Тактические приемы, связанные с краями поля — так называемые краевые приемы, — в парселе менее содержательны, чем в го. Поэтому в идеале поле в этой игре вообще не должно иметь краев. Оптимальной формой для него была бы поверхность тора, получаемая путем отождествления противоположных сторон квадрата, или хотя бы цилиндрическая поверхность. Играть на таких полях сложно, но комбинационный потенциал возрастает в разы.

Комбинационные возможности игры

По особенностям игрового материала парсель можно отнести к так называемым линейчатым играм — игровые фишки представлены здесь линейными элементами в виде отрезков. Использование ребер, а не клеток, значительно увеличивает комбинационные возможности игры. Дело в том, что, согласно теореме Эйлера, число ребер в квадратной сетке равно (n+1)2+n2-2=2n2+2n-1. Следовательно, отношение их числа к числу клеток равно

Очевидно, для больших n это значение будет приближаться к 2, то есть число ребер будет примерно в два раза больше числа клеток.

Поэтому и на поле 5х5 игра будет вполне содержательной, хотя и более быстротечной, чем на стандартном поле. Новичкам, для отработки тактических приемов, рекомендуется начинать с минимального поля 3х3.

По мере накопления опыта можно переходить к более крупным полям. На них больше возможностей для построения участков со сложной структурой. Кроме того, преимущество первого хода с укрупнением поля постепенно сходит на нет.

В более сложной модификации игры, наряду с горизонтальными и вертикальными отрезками, можно выставлять любые отрезки, не проходящие, за исключением своих концов, через вершины поля. При этом следует ввести запрет на их пересечение, независимо от цветов. Площади соответствующих участков легко определить по формуле Пика: S = 0.5Г+В-1, где Г — число точек на границе участка, а В — число его внутренних точек. Разумеется, для такой игры следует использовать поля небольших размеров — 3х3 такой 5х5.