Vous avez manqué la dernière vidéo qui parle de géométrie sphérique ? Il n’est jamais trop tard pour aller la regarder !

Dans cette vidéo, je mentionne une propriété très importante en géométrie sphérique : la somme des angles d’un triangle y est toujours supérieure à 180 degrés (ou plutôt π radians, puisque nous utiliserons plutôt cette unité d’angle pour la suite).

De combien ? Potentiellement beaucoup, il n’y a pas de valeur fixe. Cette somme peut valoir entre π, pour un triangle d’aire nulle à 3π, pour une hémisphère… ce qui nous prive d’un beau résultat.

Mais de belles formules, il n’en manque pas, cependant !

Angles et triangle

Prenez trois points A, B et C sur une sphère. Pour former un triangle, il faut joindre les points A et B en traçant l’arc de cercle ayant pour centre le centre de la sphère et joignant A à B. On prendra évidemment l’arc le plus court, histoire de minimiser le trajet.

En faisant de même avec B et C, puis avec A et C, on délimite ainsi une zone qui est ce que l’on nomme tout simplement un triangle sphérique.

Nous appellerons alors α l’angle situé au sommet A, β celui situé sur le sommet B et γ celui situé sur le sommet C, ces angles étant exprimés en radians.

Contrairement au plan, où peu importe les angles donnés (pourvu que leur somme fasse 180°), on pourra tracer des triangles aussi grands que l’on veut, ces triangles sont restreints à la sphère lorsqu’il s’agit de géométrie sphérique.

Nous allons appeler R le rayon de notre sphère. La surface de cette sphère vaut alors 4πR2.

Regardons pour commencer l’angle α . Celui-ci délimite une zone, un fuseau sur notre sphère, et l’aire de cette surface est proportionnelle à cet angle α. Elle vaut α / (2π) x 4πR2, soit 2α R2. Nous allons également considérer le fuseau symétrique. L’aire totale occupée par ces deux fuseaux sera donc de A α =4α R2.

De la même manière, l’aire des deux fuseaux délimitées par l’angle β valent A β = 4β R2 et les deux fuseaux délimités par γ valent A γ = 4γ R2

Regardons alors notre sphère, lorsque ces trois fuseaux sont présents.

On voit que les fuseaux recouvrent entièrement la sphère, mais que deux régions sont traversées par ces trois fuseaux : il s’agit du triangle et de son symétrique par rapport au centre de la sphère.

Par conséquent, si j’ajoute l’aire de la région issue de α, celle issue de β et celle issue de γ , on obtient la surface de la sphère… plus un supplément. En effet, on a compté l’aire du triangle 6 fois (3 pour le triangle lui-même et 3 pour son symétrique), il faut donc retirer 4 fois l’aire du triangle pour retomber sur le bon compte.

En résumé :

A α +A β +A γ – 4 Aire triangle = Aire totale

En remplaçant par les valeurs trouvées plus haut, on a alors

4 α R2 + 4 β R2 + 4 γ R2 – 4 Aire triangle = 4πR2

En arrangeant tout cela, on obtient finalement la formule de Girard :

Aire triangle = (α + β + γ – π) x R2

Une formule d’une étonnante simplicité qui relie l’aire d’un triangle t la valeur de ses angles. C’est beau !