Une petite vidéo estivale, en forme de retour de vacances

Malheureusement, les vacances ne m’ont pas laissé le temps d’écrire un billet de blog aussi complet que je l’aurai voulu sur ce beau sujet. Je vais quand même donner quelques compléments…en m’appuyant sur de vieux billets !

Angle de repos

Parmi les sujets que je n’ai pas développé dans la vidéo, il y a tout d’abord les facteurs qui entrent en compte dans l’angle de repos d’un milieu granulaire. Sur le papier, le principal élément est le coefficient de friction. Intuitivement plus les frottements entre grains sont importants, plus l’angle de repos sera élevé.

Le graphique ci-dessus est obtenu par simulation numérique et est extrait de la publication suivante :

Zhou, Y. C., et al. « Numerical investigation of the angle of repose of monosized spheres. » Physical Review E 64.2 (2001): 021301.

Le truc, c’est qu’en pratique les coefficients de friction varient peu, et c’est surtout la forme des grains qui va jouer un rôle. On obtiendra donc des angles de repos différents suivant qu’on a de belles sphères, ou bien des grains plus anguleux.

Vitesse d’écoulement et théorie des arches Je l’ai dit dans la vidéo, l’eau dans une clepsydre s’écoule selon une loi simple connue comme « loi de Torricelli », et qui relie la vitesse de l’eau à la hauteur de la colonne. La vitesse ne dépend pas du rayon du trou, mais le débit, lui, en dépend évidemment via la surface de l’ouverture, donc \(D = \sqrt{2gh}\ \ \pi R^2\) Le sable lui s’écoule selon la loi dite de Beverloo \(D = C \sqrt{gR}\ \ \pi R^{2} \propto R^{5/2} \) Pour comprendre d’où vient la loi de Beverloo, on peut utiliser une observation que l’on retrouve souvent dans les écoulements granulaires : les arches. On sait que du sable dans un cylindre ne se comporte pas comme de l’eau. Si on ajoute du sable supplémentaire en haut de la colonne, son poids ne sera pas supporté par le bas de la colonne (comme avec de l’eau) mais pas les grains intermédiaires qui frottent contre les parois. Cette friction permet notamment la formation d’arches, c’est-à-dire de structures ressemblant à des clés de voûte, et qui vont soutenir le sable situé plus haut dans la colonne. C’est ce que montre le dessin ci-contre, issu d’une simulation numérique [1]. La couleur représente la pression que supporte chaque bille, et montre clairement que des arches se dessinent d’une paroi à l’autre. En présence d’un écoulement, les arches provoquent ce qu’on appelle l’écrantage de Janssen : quand le sable s’écoule, de telles arches se font et se défont en permanence. et elles protègent en quelque sorte le bas de la colonne des pressions élevées : c’est ce qui peut expliquer que la vitesse d’écoulement ne soit pas liée à la hauteur de la colonne de sable. La physique de ces arches a beau être affreusement compliquée, c’est grâce à elles que la vitesse d’écoulement du sablier est constante, le rendant si pratique à utiliser !

Simuler des écoulements granulaires