Bjarnason begann seine Fussballlaufbahn in seiner Heimatstadt Akureyri, einer der wenigen Orte im Norden der Insel, bei zwei lokalen Vereinen. Noch im Juniorenalter wechselte er nach Norwegen, wo er vorerst bei zwei Provinzclubs, nämlich in Trøndelag beim Austrått IL und in Figgjo, spielte, ehe er mit 17 Jahren beim achtfachen norwegischen Meister Viking Stavanger seinen ersten Vertrag im Leistungsfussball unterschrieb. In Stavanger blieb er bis auf einen kurzen Abstecher zum FK Bodø/Glimt während sieben Jahren, ehe er zuerst in Belgien für Standard Lüttich und danach in Italien für Sampdoria Genua und für Pescara gespielt hat. In der Saison 2014/15 erreichte Pescara – auch dank 12 Toren Bjarnasons – die Aufstiegs-Playoffs zur Serie A.

Für Island bestritt Bjarnason, der auf allen Positionen im offensiven Mittelfeld eingesetzt werden kann, bisher 38 Länderspiele, in denen er 6 Tore erzielte. Er gehörte auch zu jener A-Nationalmannschaft, die am 6. September 2013 in einem spektakulären WM-Qualifikationsspiel gegen die Schweiz in Bern einen 1:4-Rückstand aufgeholt und ein 4:4 erreicht hatte.

Bjarnason ist der erste Isländer, der für den FC Basel 1893 spielen wird. Nachgewiesen ist, dass der FCB in seiner Vereinsgeschichte neben den Schweizer Spielern bisher Fussballer aus 50 weiteren Nationen beschäftigt hat.