Эта несложная задача известна с 60-х годов прошлого века и давно стала классикой «кружковской» и «олимпиадной» математики. Приведенное выше решение верное, но в нем есть одна небольшая проблема, которую полезно обсудить, поскольку неожиданно она довольно быстро выведет нас в «серьезную» математику.

Можно заметить, что даже если Заяц не ленится и плывет максимально быстро, то удаление от центра пруда происходит со скоростью \(v_y=\sqrt{v^2-v_x^2}=v\sqrt{1-(4x)^2}\), и чем ближе становится \(x\) к 1/4, тем ближе эта скорость к 0. Доплывет ли Заяц до заветной окружности за конечное время?

Этот вопрос не такой отвлеченный, как может показаться. Рассмотрим сначала совсем простой пример подобной ситуации. Допустим, что один объект по прямой приближается к другому со скоростью, численно равной расстоянию между объектами. Объекты, разумеется, мы считаем точечными (как и Зайца с Волком в нашей задаче), но, чтобы не путаться, представим себе, что это лодка причаливает к пристани. Итак, на расстоянии d от пристани скорость лодки равна d. В частности, это означает, что рядом с пристанью скорость лодки будет совсем маленькой (и стремится к нулю по мере приближения), то есть она не ударится. Правда, самого причаливания за конечное время не произойдет.

Действительно, время, которое понадобится лодке, чтобы добраться от d = 1 до d = 1/2, будет больше, чем 1/2, поскольку скорость на этом участке пути меньше 1 (единицы измерения здесь не важны, но можно считать, что везде подразумеваются метры, секунды и метры в секунду). Время, которое понадобится лодке, чтобы добраться от d = 1/2 до d = 1/4 тоже будет больше, чем 1/2, поскольку на этом участке пути ее скорость меньше 1/2. Дальше все повторяется: чтобы сократить расстояние до пристани еще в два раза, лодке требуется не меньше 1/2 единиц времени. Легко видеть, что на расстоянии \(1/2^n\) от пристани лодка окажется через \(n/2\) единиц времени. Вот и получаем, что причаливание никогда не состоится: время растет неограниченно, а расстояние нулевым не становится.

Не случится ли того же самого у Зайца с Волком? Ситуация ведь довольно похожа: заплыв от центра пруда к заветной окружности радиуса 1/4 — это, по сути, то же самое причаливание к ней (как мы отметили выше, скорость Зайца по мере приближения к ней тоже стремится к нулю). Давайте посчитаем.

Итак, расстояние \(x\) меняется от 0 до 1/4, а скорость Зайца равна \(V(x)=v\sqrt{1-(4x)^2}\). Чтобы не возиться с лишними коэффициентами, сделаем замену: \(X=4x\). Тогда \(0\le X\le1\), а функция \(V(X)=v\sqrt{1-X^2}\) убывает при изменении X от 0 до 1, причем, \(V(0)=v\), \(V(1)=0\).

Снова используем идею с делением всего отрезка \([0;\ 1]\) на части. Правда в этом случае они будут чуть более неуклюжие, чем в примере с лодкой и пристанью: точками деления будут \(X_n=\frac{\sqrt{2^{2n}-1}}{2^{n}}\). Например, \(X_0=0\), \(X_1=\frac{\sqrt3}{2}\), \(X_2=\frac{\sqrt{15}}{4}\), \(X_3=\frac{\sqrt{63}}{8}\)... Эта последовательность чисел монотонно возрастает и стремится к 1 при \(n\to\infty\).

Длина первого участка (между точками \(X_0\) и \(X_1\)) меньше 1, а скорость на нем больше, чем \(V(X_1)=v/2\), поэтому Заяц проплывет его быстрее, чем за \(2/v\).

Длина n-го участка между точками \(X_{n-1}\) и \(X_n\) (при \(n\ge1\)) меньше \(1/4^{n-1}\):