Au premier abord, les mouvements de foules se prêtent assez peu à la démarche de modélisation mathématique. Les tendances peuvent être très variables d’un individu à l’autre, le comportement d’un individu donné est lui-même peu prévisible, et le grand nombre d’individus potentiellement en interaction rend difficile une formalisation rigoureuse de ces phénomènes. Nous proposons ici de montrer qu’une approche simpliste sur le plan de la modélisation des comportements individuels associée à une prise en compte appropriée des interactions entre individus permet pourtant de reproduire certains phénomènes non triviaux observés en pratique. Le modèle que nous décrivons ici est basé sur la notion de flot de gradient, qui fait l’objet du premier paragraphe.

Flots de gradient

Considérons une personne perdue dans la montagne en plein brouillard, qui cherche à rejoindre la vallée au plus vite. On peut imaginer qu’elle tâtonne autour d’elle pour estimer dans quelle direction aller (en l’occurrence la direction de plus grande pente), fait un ou plusieurs pas dans cette direction, puis recommence le processus. Pour formaliser cette démarche, on décrit le profil de la montagne par une fonction $f({\bf x})$ qui représente l’altitude au point ${\bf x}$ du plan (on peut voir ce point ${\bf x}$ comme le couple latitude-longitude qui positionne un point à la surface du globe).

Si l’on numérote par $1$, $2$,..., $n$,... les instants auxquels elle fait le point et par ${\bf x}_1$, ${\bf x}_2$,..., ${\bf x}_n$ les positions correspondantes, le parcours de notre promeneur est défini par

\[ {\bf x}_{n+1} = {\bf x}_{n} -h

abla f ({\bf x}_{n}), \]

où $h$ est un paramètre qui quantifie la taille des pas. Le vecteur $

abla f ({\bf x}_{n})$, appelé gradient de $f$ au point ${\bf x}_{n}$, correspond à la direction de plus grande pente : il pointe vers les valeurs croissantes de $f$ et sa longueur est d’autant plus grande que l’altitude augmente vite. Le signe moins permet donc de pointer vers la direction de descente maximale. Le gradient est représenté sous la forme d’une flèche noire sur le dessin ci-dessous (les traits courbes sont les lignes de niveau de la fonction altitude, telles qu’elles sont représentées sur une carte d’état-major), et la flèche en pointillés bleus indique un pas effectué suivant cette procédure.

La stratégie suivie peut aussi s’écrire

\[ \frac { {\bf x}_{n+1} - {\bf x}_{n}} {h} = -

abla f ({\bf x}_{n}). \]

On peut ainsi s’attendre à ce que la trajectoire effective du promeneur soit proche de la solution de l’équation différentielle suivante

\[ \frac { d{\bf x}} {dt} = -

abla f ({\bf x}). \]

En présence d’un obstacle (rocher, crevasse), la direction de plus grande pente peut être exclue. Le promeneur choisira alors, parmi les directions possibles, celle qui s’en rapproche le plus. On peut formaliser cela en notant $C_{\bf x}$ l’ensemble des vitesses admissibles (c’est-à-dire réalisables compte tenu de l’obstacle) au point ${\bf x}$, en écrivant que la vitesse effective du promeneur est la projection de cette vitesse souhaitée sur $C_{\bf x}$ (c’est-à-dire, parmi les vitesses admissibles, celle qui est la plus proche de la vitesse souhaitée), ce qui conduit à l’équation d’évolution

\[ \frac { d{\bf x}} {dt} = P_{C_{{\bf x}}}\left ( -

abla f({\bf x})\right ) . \]

L’obstacle est représenté en rouge sur la figure ci-dessous, et la flèche bleue indique un pas du marcheur qui suit au plus près la direction de plus grande pente descendante parmi les directions possibles.

Modèle de foule

Considérons maintenant une foule de $N$ individus dans un bâtiment, et imaginons qu’à un instant donné un incendie se déclenche, provoquant la ruée des personnes vers la sortie la plus proche.

On suppose ici que les personnes connaissent la topographie des lieux : chaque personne est individuellement capable de déterminer sa stratégie optimale d’évacuation, c’est à dire le plus court chemin vers la sortie la plus proche.

Introduisons $D({\bf x})$ la distance d’un point ${\bf x}$ à la sortie (en tenant compte des obstacles). Pour chaque individu, cette distance joue le rôle de l’altitude dans l’exemple du promeneur perdu : il s’agit de la rendre la plus petite possible. Pour une personne seule, il est raisonnable de décrire son mouvement par un flot de gradient associé à cette distance $D$ (vue comme une quantification de l’insatisfaction, que l’on cherche à minimiser)

\[ \frac { d{\bf x}} {dt} = -

abla D ({\bf x}). \]

Considérons maintenant la population dans son ensemble comme une entité unique, décrite à chaque instant par un vecteur position

\[ {\bf X} = ({\bf x}_1,{\bf x}_2,\dots,{\bf x}_N), \]

auquel on associe une fonction d’insatisfaction globale. Si personne n’est privilégié, on définit cette fonction $F$ comme la somme des insatisfactions (i.e. distances à la sortie) de tous les individus :

\[ F({\bf X}) = D({\bf x}_1) + D({\bf x}_2)+ \dots + D({\bf x}_N). \]

Toutes les configurations ne sont pas permises : deux personnes ne peuvent pas être au même endroit et au même moment. Si l’on identifie les personnes à des disques de même rayon $r$, interdire les chevauchements revient à définir un ensemble de configurations admissibles de la façon suivante

\[ K = \{ {\bf X}\, , \,\,|{\bf x}_j - {\bf x}_i | \geq 2r \hbox{ pour tous } i

eq j \} \]

Le non-chevauchement entre deux individus peut donc être vu comme une zone interdite de l’espace à $2N$ dimensions décrivant notre système,

un obstacle infranchissable (comme le rocher du premier exemple), sur lequel notre individu $N$-céphale vient butter.

Pour toute configuration donnée ${\bf X}$, toutes les vitesses ne sont pas permises : certaines sont susceptibles de violer la contrainte de non-chevauchement. Pour chaque couple $(i,j)$ d’individus, on écrira simplement que, si les personnes sont en contact, la distance ne peut qu’augmenter (ou rester nulle), ce qui impose à la vitesse globale (collection des vitesses des individus) d’appartenir à un certain demi-espace de l’espace total ${{R}}^{2N}$ des vitesses possibles. L’ensemble $C_{\bf X}$ des vitesses admissibles est donc l’intersection d’un nombre (potentiellement important) de demi-espaces contenant l’origine (la vitesse nulle est toujours admissible).

Comme dans le premier exemple, on peut écrire le flot de gradient associé au mouvement de ${\bf X}$, qui exprime simplement que la population tend à minimiser son insatisfaction globale sous la contrainte de congestion (non-chevauchement entre individus) :

\[ \frac { d{\bf X}} {dt} = P_{C_{\bf X}}\left ( -

abla F ({\bf X})\right ) . \]

On peut montrer sous des hypothèses raisonnables que le problème est bien posé, c’est à dire qu’étant donnés une configuration (forme de la pièce) et une configuration initiale (positions des gens au temps 0), existe une unique solution au problème (le lecteur familier avec l’analyse convexe trouvera dans [1] une démonstration rigoureuse de cette propriété).

Au delà de ce résultat théorique, qui finalement en dit peu sur le modèle, il est naturel de se poser les questions suivantes :

1) Ce modèle simpliste permet-il de reproduire des phénomènes observés en pratique dans les situations d’évacuation ?

2) Cette stratégie de flot de gradient, basée sur un comportement « reptilien » des individus (il n’y a pas de stratégie collective, ni même d’adaptation des stratégies personnelles à la présence d’autres individus) est-elle efficace en termes d’évacuation ?

Le phénomène de blocage que nous allons décrire maintenant permet de répondre au moins partiellement à la première question, et assez complètement (et négativement) à la seconde.

On considère pour cela la situation d’un certain nombre d’individus, identifiés donc à des cercles dans le cadre de notre modèle, qui cherchent à évacuer une pièce carrée. L’animation suivante représente l’évolution au cours du temps de la foule (calculs réalisés par Juliette Venel) :

On notera le bouchon qui se forme en amont de la porte, et les zones de forte congestion induites (la couleur rouge représente la pression subie par les individus).

La simulation met en évidence le phénomène suivant : à un instant donné, la situation se bloque complètement. Les gens continuent à pousser, mais sans effet apparent.

La figure suivante permet de se faire une idée du réseau de forces qui s’établissent dans un telle situation. Les segments relient les centres des disques en contact, et la couleur est d’autant plus chaude (rouge) que la force de compression associée au contact est importante.

Le modèle simpliste proposé permet donc de reproduire un phénomène non trivial observé en pratique dans des situations de forte panique : une foule peut se retrouver bloquée en amont d’un porte ouverte, a priori suffisamment large pour laisser passer plusieurs individus de front. Cette observation permet de donner une réponse négative à la seconde question, qui portait sur l’efficacité de la stratégie, pour autant que l’on puisse parler de stratégie, observée par la foule.

Pourtant les mathématiciens connaissent une situation dans lequel le flot de gradient est la meilleure solution : lorsque la fonction à minimiser est convexe, et lorsque l’ensemble des configurations admissibles est lui même convexe, ce qui signifie que si l’on prend deux configurations admissibles quelconques, le segment qui les relie est constitué de configurations admissibles.

Il est naturel de se demander quelle est la cause de l’inefficacité du flot de gradient. Cette cause est à chercher dans l’ensemble des configurations admissibles lui-même : l’ensemble des configurations de disques sans chevauchement n’est pas convexe.

Un retour sur le principe abstrait de flot de gradient et sur l’exemple du promeneur perdu permet de mieux comprendre ce qui se passe. La foule peut se voir comme une entité multicéphale se promenant sur une “montagne”, le rôle de l’altitude (hauteur verticale) étant joué par l’insatisfaction totale, et les obstacles sont les zones interdites qui correspondraient au chevauchement entre plusieurs individus. Le phénomène de blocage peut se représenter par la figure ci-dessous.

Les lignes isovaleur de la fonction d’insatisfaction sont indiquées en noir (insatisfaction croissante vers la droite), la trajectoire que l’on aurait sans contrainte est indiquée en pointillé noir, et la trajectoire effective (qui contourne les obstacles) est indiquée en rouge. Du fait de la non convexité de l’ensemble des configurations admissibles, on voit que la trajectoire effective peut se retrouver coincée dans un creux, c’est ce qui arrive lorsque l’on a blocage en amont d’une porte.

Sortir de ce creux ne peut se faire qu’en sacrifiant provisoirement un peu de satisfaction, ce que le principe d’évolution reptilien ne prévoit pas.

La figure ci-dessus suggère qu’il est aisé d’améliorer la situation : il suffit manifestement de contourner le creux sur la droite. On gardera à l’esprit que cela suppose que le point voie et anticipe l’obstacle, obstacle qui est dans la réalité qui nous intéresse une zone de l’espace à $2N$ dimensions dans lequel évolue la foule, aux contours d’une grande complexité. Par ailleurs, comme le point représenté sur la figure précédente est en fait constitué d’un grand nombre d’individus, l’adaptation de sa trajectoire aux contraintes extérieures correspondrait à une prise de décision collective, avec concertation globale des individus, ce que précisément la foule en situation de panique n’a pas tendance à réaliser en général. Amener la foule à contourner l’obstacle nécessite une vision d’ensemble du processus, et la stratégie consistant à exercer un contrôle sur les personnes de façon à éviter ces situations de blocages est envisageable dans certaines situations particulières, comme dans un cadre militaire (évacuation d’un sous-marin par exemple), dans lequel on peut concevoir que des personnes soient amenées à suivre un comportement qui ne correspond pas à la satisfaction immédiate de leurs tendances personnelles. Mais dans le cas de l’évacuation d’urgence d’une foule de gens non préparés, les tendances individualistes reprennent en général le dessus.

Noter cependant que des études récentes [2] remettent en cause la pertinence de ce modèle purement individualise. Certains événements récents mettent notamment en évidence la capacité de foules à mettre en place spontanément des stratégies collectives d’évacuation.

On a vu ainsi que les blocages étaient liés à la non convexité de l’ensemble des configurations admissibles, en particulier dans les zones de forte congestion (près de la sortie), il est donc naturel de chercher à « convexifier » cet ensemble. On peut réaliser au moins partiellement cette opération en faisant en sorte que la sortie soit plus proche d’un couloir (pour lequel l’ensemble $K$ est convexe), par exemple en rajoutant un obstacle qui force les gens à former des lignes en amont de la sortie. Cette approche est illustrée par l’animation suivante : l’ajout d’un tel obstacle a supprimé le phénomène de blocage.

Conclusion

Ce modèle simpliste permet donc de reproduire et mieux comprendre certains phénomènes complexes, voire de suggérer des pistes pour améliorer la fluidité des processus d’évacuation.

Noter que cette approche est utilisée en pratique par les architectes (et l’était à vrai dire bien avant l’apparition des modèles mathématiques !).