Roberto Imbuzeiro Oliveira - Pesquisador titular do IMPA

O que é finito sempre acaba ficando apertado. Já no infinito sempre cabe mais um. Na verdade, dentro de um infinito cabe até outro infinito, mas não qualquer outro infinito.

Se o parágrafo acima soou estranho, este texto é para você. Nele, vamos falar do finito e do infinito. No fim de tudo, você entenderá melhor que o mundo do infinito tem mais espaço do que se consegue imaginar.



O aperto do finito



Considere as duas afirmações abaixo:

(1) Num grupo de 13 ou mais pessoas, há pelo menos duas que fazem aniversário no mesmo mês.

(2) Há duas pessoas na cidade de Campos dos Goytacazes que têm exatamente o mesmo número de fios de cabelo na cabeça.

As duas frases estão corretas pela mesma razão, que tem a ver com finitude. Vou explicar isso melhor apelando para a sua imaginação.

No caso na primeira afirmação, imagine que eu desenhei 12 retângulos, correspondendo aos 12 meses do ano. Agora eu anoto os nomes das pessoas dentro dos retângulos, de modo que cada nome fique dentro do retângulo correspondendo ao mês de aniversário de cada uma. Pode até ser que algum retângulo fique vazio. No entanto, como há mais nomes do que retângulos, pelo menos dois nomes vão coincidir no mesmo retângulo. Dito de outro modo, têm de existir pelo menos duas pessoas fazendo aniversário no mesmo mês.

A segunda afirmação tem uma justificativa semelhante. Um ser humano normal tem até 150.000 fios de cabelo na cabeça. Chutando bem por cima, dá para supor que todos os habitantes de Campos têm no máximo 500.000 fios. Agora imagine que desenho um retângulo para cada número possível de fios, de 0 a 500.000. Em cada retângulo, escrevo os nomes das pessoas que têm exatamente aquele número de fios na cabeça (eu estou próximo do 0). São 500.001 retângulos, mas o número de habitante do Campos é maior, cerca de 503.000 segundo o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). Como há mais pessoas do que retângulos, algum retângulo terá duas pessoas. Ou seja, há pelo menos duas pessoas em Campos com o mesmo número de cabelos. [1]

As duas afirmações são baseadas no que os matemáticos como “Princípio das Casas dos Pombos”. Se há um número n de “casas” para n+1 ou mais “pombos”, pelo menos uma das casas terá pelo menos dois pombos. É claro que essa metáfora se aplica também a meses de aniversário, fios de cabelo e muitas outras situações em que há um número limitado de possibilidades.

O Princípio da Casa dos Pombos é um desses fatos óbvios úteis em muitas demonstrações matemáticas. Neste texto, ele importa porque é como que a “assinatura” da finitude. Como veremos abaixo, o infinito é exatamente aquele lugar onde não vale o Princípio da Casa dos Pombos e por isso ninguém precisa se apertar.

Uma temporada no Hotel de Hilbert

No senso comum, o “infinito” é definido como a negação do finito: o que não é limitado, o que não termina. Para os matemáticos, há uma alternativa mais direta: um conjunto é infinito quando sobra espaço dentro dele mesmo.

Para explicar isso melhor, vamos recorrer ao matemático David Hilbert (1862 - 1943). Diz-se que Hilbert foi o última pessoa a compreender toda a Matemática de sua época. Como se isso não bastasse, ele também nos deixou uma metáfora para compreendermos o infinito: o Hotel de Hilbert.

Este estranho hotel tinha infinitos quartos com números 1,2,3,4,5,6... e assim por diante. Em cada quarto cabia exatamente um hóspede e era comum o hotel lotar de vez em quando.

Num desses dias de lotação esgotada, apareceu uma pessoa em busca de abrigo. Num hotel normal – ou seja, num hotel finito – o gerente não teria como acomodar essa nova pessoa. No entanto, o Hotel de Hilbert é infinito e o gerente encontra uma saída. Ele pede que cada um dos hóspedes se mude para o quarto seguinte ao que estava ocupando. Desta forma, o hóspede do quarto 1 vai para o quarto 2, o do quarto 2 vai para o quarto 3, o do 3 vai para o 4 e assim por diante. Nenhum hóspede antigo fica sem quarto e o cliente que acabou de chegar fica com o quarto 1 só para ele!



É claro que essa história é imaginária. No mínimo, ia ser difícil arrumar gerentes e camareiras para cuidarem de infinitos quartos! A utilidade da história é simplesmente percebemos que o infinito é muito diferente do finito [2]. Note que, antes de chegar o novo hóspede, tínhamos infinitas pessoas no hotel. Depois, passamos a ter “infinitas mais uma”, mas foi possível acomodar cada pessoa no seu quarto. Isso é o contrário do que acontecia com os pobres pombos: se as casas já estão todas ocupadas e chega mais um pombo, alguém vai ter de dividir seu espaço. Realmente, o infinito é bem mais folgado que o finito!

Cabe mais um infinito, mas não qualquer infinito



Terminamos este texto com mais duas historinhas sobre o Hotel de Hilbert e uns breves comentários sobre elas.



Na primeira história, o Hotel está lotado e chegam infinitos novos hóspedes de uma vez. Estes novos hóspedes vêm com números 1, 2, 3, 4, 5,... e o gerente tem de dar um jeito de acomodá-los. O que ele pode fazer? Muito simples: ele pede para cada pessoa já hospedadas se mudar para o quarto cujo número é o dobro do atual: o hóspede do quarto 1 vai para o 2, o do quarto 2 vai para o 4, o do quarto 3 vai para o 6 e assim por diante. Desta forma, os hóspedes antigos se acomodam nos quartos pares e os ímpares ficam disponíveis para os recém-chegados!

Na segunda história, o Hotel de Hilbert está completamente vazio e (mais uma vez) chegam infinitas pessoas buscando hospedagem. Acontece que os turistas desta história têm nomes correspondendo a cada um dos números reais: há o hóspede número 1, o número 0, o número , o número e muitos, muitos outros. Pode parecer estranho, mas desta vez o gerente não tem o que fazer. Apesar de os quartos estarem todos livres, ele não tem como hospedar todos estes novos clientes.

Se o leitor se espantou com este desfecho, isso faz todo o sentido. Fazendo de conta que era piada, acabei de lhe contar duas verdades matemáticas profundas. Na primeira história eu mostrei que dentro de um conjunto infinito sempre cabe outro conjunto infinito. Já na segunda história ficou claro que nem todo conjunto infinito cabe dentro de outro conjunto infinito; em particular, os números naturais não têm espaço para todos os números reais.

Georg Cantor (1845 – 1918) foi o primeiro a descobrir que era possível comparar o tamanho de conjuntos mesmo quando eles são infinitos. Entrar nos detalhes desta teoria é assunto para outro dia. O que posso dizer para concluir é que os matemáticos descobriram uma infinitude de infinitos que nem sequer poderiam imaginar. Até hoje, restam literalmente infinitas coisas por compreender nesse estranho mundo.

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[1] O exemplo dos fios de cabelo veio do blog “Mind your decisions”, de Presh Talwalkar: https://mindyourdecisions.com/blog/2008/11/25/16-fun-applications-of-the-pigeonhole-principle/ .

[2] Em linguajar matemático, arrumamos uma correspondência biunívoca entre os números 1,2,3,4,5... com o subconjunto próprio composto pelos números 2,3,4,5,6,... .