Ho detto altrove che la filosofia è matematica, con questo intendo dire che da un lato esiste una natura matematica della filosofia, dall’altro la filosofia può diventare una scienza a tutti gli effetti come le altre proprio grazie alla matematica.

Cercherò prima di sviluppare il primo punto. Vorrei dimostrare che la matematica è sempre stata implicita nella filosofia almeno a partire dalla rivoluzione socratica.

La branca della matematica che è stata sempre presente nella filosofia è la logica.

La filosofia in primo luogo si fa argomentando: ragionando con altre persone.

Argomentare è una questione di matematica, non è semplicemente pensare, quello siamo capaci a farlo tutti.

Spesso si pensa che un certo modo di giudicare, anche in senso critico, sia tipico delle materie umanistiche e che la filosofia faccia parte di queste, mentre le scienze propriamente dette di solito adottano una forma di pensiero diverso, spesso acritico e poco flessibile, ma più rigido.

Io non credo che le cose stiano in questo modo. Il modo di pensare dei filosofi non è tipico delle scienze umane, ma della matematica.

La ragione dei filosofi è una ragione calcolante, anche l’etica segue un calcolo, la phronesis di Aristotele lo mostra bene:

phronesis è il giudicare quali sono i mezzi più adatti ad un determinato fine.

Il pensiero dei filosofi è logico, ma la logica è prima di tutto matematica.

La logica, mi è capitato già di dirlo, non è solo la logica classica, tuttavia io qui parlerò prevalentemente della logica classica.

La logica classica è nata con i filosofi greci, in particolare con Aristotele.

Prima ancora di Aristotele a Platone normalmente viene attribuita la scoperta del principio di non contraddizione.

I dialoghi socratici spesso presentano questa struttura: Socrate riesce a far partorire determinate conoscenze o idee ai soggetti che lui interroga; queste conoscenze spesso sono delle specie di ipotesi di lavoro in risposta a determinate domande come: Che cos’è il bene? che cos’è il coraggio?; l’ipotesi viene testata a partire dalle sue conseguenze e viene scartata se questa implica una contraddizione.

Che cos’è una contraddizione?

Se affermo e nego la stessa cosa di un certo ente, allora sto dicendo qualcosa di contraddittorio. Certamente una cosa non può essere rotonda e quadrata allo stesso tempo, così come non esistono cose che sono sia rosse che non rosse.

Il principio di non contraddizione è solo uno dei principi della logica classica.

Aristotele definirà tre principi per la logica classica che rimarranno sempre gli stessi fino ad oggi.

Ecco i principi in forma logica:

1) A = A (principio dell’identità) 2) A v ~ A (principio del terzo escluso) 3) ~ (A ∧ ~ A) (principio della non contraddizione)

Il primo principio dice semplicemente che ogni cosa è uguale a se stessa. Il secondo principio dice che, per esempio, o un oggetto è liscio oppure non lo è; non può essere che sia entrambe le cose. Il principio di non contraddizione vieta che si possa affermare qualcosa e allo stesso tempo negarla di qualsiasi cosa.

Le logiche che non sono classiche sono dette alternative perché negano alcuni di questi principi. La logica intuizionistica di Brouwer nega il principio di terzo escluso, mentre nella logica paraconsistente di Quesada ci sono casi in cui si nega il principio di non contraddizione.

Aristotele, come ho già detto, è considerato il padre assoluto della logica.

Aristotele sulla logica scrive l’Organon. Un giudizio secondo Aristotele ha un soggetto e un predicato.

Il soggetto è una sostanza e il predicato è una proprietà che è attribuita alla sostanza.

Un esempio di giudizio è “Socrate corre”, in questo giudizio predico il “correre” al soggetto “Socrate”.

Aristotele spiega il vero e il falso dell’enunciato attraverso la teoria della corrispondenza, che in greco si chiama aletheia. Secondo la teoria della corrispondenza un giudizio è vero se e solo se esiste un fatto che gli corrisponde. Posso dire che “Socrate corre” se e solo se Socrate corre, mentre sarebbe falso se Socrate non corresse.

Dal punto di vista logico la vera scoperta di Aristotele consiste nei quantificatori: tutti, alcuni, ecc.

Un giudizio come “Tutti gli uomini sono mortali” è un giudizio generale, mentre “Alcuni uomini sono castani” è particolare. Oggi entrambi questi giudizi si possono esprimere con dei quantificatori formalizzati matematicamente, ma questo è stato possibile solo grazie a Frege. Grazie ai quantificatori Aristotele è riuscito a costruire forme logiche più complesse come i sillogismi.

Il sillogismo è come un algoritmo che permette di passare dal generale al particolare. Un esempio classico:

1 Tutti gli uomini sono mortali

2 Socrate è un uomo

_____________________

3 Socrate è mortale

Il sillogismo è composto di due premesse e una conclusione. Siccome io ho scritto l’argomento in forma canonica, esattamente come si fa oggi in filosofia, è facile vedere che la conclusione è sotto la riga.

Tutti gli enunciati presentano la forma soggetto/predicato. Il sillogismo funziona tramite un termine medio che permette di passare dalle premesse alla conclusione. Il termine medio qui è “uomo”. Prima il termine medio compare come soggetto, poi come predicato nella seconda premessa. La conclusione presenta il soggetto della seconda premessa e il predicato della prima. Il sillogismo segue questa forma:

1 Ogni A è B

2 C è un A

________________

3 C è un B

Il sillogismo è stato un modello di logica per moltissimi anni, tanto è vero che Kant nella Critica della ragion pura afferma che la logica dopo di Aristotele non ha fatto nessun passo avanti. Questa affermazione di Kant è certamente falsa, perché non tiene conto degli sviluppi sulla logica degli stoici o di Leibniz, tuttavia è vero che il sillogismo è rimasto per secoli un modello valido e non c’era di meglio.

Il problema del sillogismo consiste nell’incapacità come modello formale di poter analizzare la struttura interna di un enunciato.

La storia della logica nella filosofia antica si conclude in bellezza: con gli stoici.

Gli stoici hanno letteralmente inventato un’intera branca della logica: la logica enunciativa o proposizionale.

Io parlerò della logica enunciativa non nello stesso modo in cui credo ne parlassero gli stoici, in quanto farò uso degli strumenti formali che si usano oggi dopo Boole. Tuttavia, come ha dimostrato il logico Post, la logica enunciativa è completa con gli stoici.

Quel che è cambiato da allora è stato l’avvento della formalizzazione completa di tutti gli enunciati con linguaggi simbolici ed artificiali e la sostituzione da parte di Boole di vero e falso con i numeri 1 e 0.

Il più importante stoico sul tema della logica è chiaramente Crisippo.

Egli ha scritto qualcosa come 700 libri, ma purtroppo i suoi scritti sono andati perduti.

Quel che sappiamo di Crisippo ci è stato comunicato da Sesto Empirico, che non era uno stoico, ma un critico degli stoici. È Crisippo che ha sviluppato principalmente quella che noi conosciamo come logica enunciativa o proposizionale.

La logica in generale fa uso di linguaggi artificiali con simboli propri, la logica enunciativa ne ha uno suo specifico. Si usano delle lettere per indicare le proposizioni: a, b, c, d, ecc. Queste lettere costituiscono formule semplici o atomiche.

Per connettere queste formule con le altre si usano altri simboli: i connettivi.

Un connettivo è la negazione, indicata con il simbolo “~”, usato per negare una formula in questo modo: ~ a. Esempio: ~ p (non piove). Due altri connettivi sono la disgiunzione e la congiunzione, indicate con i simboli “v” e “∧”.

La disgiunzione designa un’alternativa tra più opzioni: o nevica o piove (n v p). La congiunzione unisce due proposizioni: marco è bello e attraente (b ∧ a).

Gli ultimi due importanti connettivi sono il condizionale e il bicondizionale.

Il condizionale è indicato con il simbolo “⸧”. Esempio: Se nevica, allora non uscirò di casa (n ⸧ ~ c). Il bicondizionale è indicato con il simbolo “↔”, un esempio di bicondizionale è il seguente: ti darò il regalo se e solo se prenderai un bel voto (r ↔ v).

Una formula complessa è una formula molecolare, quella dell’ultimo esempio che ho fatto è una formula molecolare.

Gli stoici già usavano tutti questi connettivi e dei simboli per le proposizioni. Gli stoici inoltre avevano sviluppato un metodo per comprendere quando un connettivo può essere vero o falso, oggi tutto questo sapere è espresso attraverso le tavole della verità pensate da Wittgenstein.

Quando una proposizione è vera si assegna il valore 1, quando è falsa si assegna il valore 0. Ogni connettivo ha la sua tavola. Farò almeno due esempi:

Il primo esempio è forse il più interessante, è il caso del condizionale. Nel condizionale c’è un antecedente (nel mio esempio è p) e un conseguente (nel mio esempio è q). Il condizionale è vero in tutti i casi, tranne quando l’antecedente è vero e il conseguente falso. La particolarità sta nel fatto che ogni volta che l’antecedente è falso, il condizionale è necessariamente vero.

La logica enunciativa ci permette di studiare le strutture di determinati argomenti. Particolarmente importanti sono le regole di deduzione, gli stoici ne conoscevano tre:

1) Modus ponens: A ⸧ B, A ├ B (se ci sono le nuvole nere (A), allora pioverà (B); ci sono le nuvole nere (A); dunque pioverà (B)).

2) Modus tollens: A ⸧ B, ~ B ├ ~ A (se ci sono le nuvole nere (A), allora pioverà (B); non pioverà (~ B); dunque non ci sono nuvole nere (~ A)).

3) Riduzione all’assurdo: Г ∪ {A} ├ B, Г ∪ {A} ├ ~ B, Г ├ ~ A (tutte le opinioni sono vere; se tutte le opinioni sono vere, allora è vera quell’opinione che dice che ogni opinione è falsa; questo è contraddittorio; dunque non è vero che ogni opinione è vera).

Г è un insieme di formule, {A}è l’insieme con elemento A, Г ∪ {A} è l’unione dei due insiemi, mentre “├” è il simbolo della derivabilità. Se derivo dall’unione degli insiemi una contraddizione (B ∧ ~ B), allora l’unione degli insiemi si dice inconsistente. Posso dimostrare il passaggio tra queste formule in questo modo: usando dei teoremi, in particolare quello della deduzione. Soluzione a 3):

1 Г ∪ {A} ├ B

2 Г ∪ {A} ├ ~ B

3 Г├ A ⸧ B

4 Г├ A ⸧ ~ B

5 ├ (A ⸧ B) ⸧ ((A ⸧ ~ B) ⸧ ~ A)

6 Г├ A ⸧ B, Г├ (A ⸧ ~ B) ⸧ ~ A

7 Г├ A ⸧ ~ B, Г ├ ~ A

In 3 e 4 ho applicato il teorema della deduzione, il quale afferma: se Г ∪ {A} ├ B, allora Г├ A ⸧ B. Non vi spiegherò il teorema della deduzione, è un po’ lungo, molte delle cose che vi dico ora non hanno più nulla a che vedere con gli stoici, ma sono evoluzioni successive. Nel passaggio 5 ho introdotto un teorema, che ha una sua dimostrazione piuttosto lunga. Nelle dimostrazioni logiche si possono sempre introdurre teoremi. Nei passaggi 6 e 7 ho applicato una regola semplice: se hai l’antecedente di un condizionale puoi derivare il conseguente.

La derivabilità (├) è una nozione sintattica della logica. Si parla di derivazione di una formula da un insieme di formule se esiste una sequenza di formule che istanza uno degli assiomi della logica enunciativa o è ottenuta con il modus ponens. Il modus ponens l’ho già spiegato. Gli assiomi della logica enunciativa sono questi tre:

1 A ⸧ (B ⸧ A)

2 (A ⸧ (B ⸧ C)) ⸧ ((A ⸧ B) ⸧ (A ⸧ C))

3 (~ A ⸧ ~ B) ⸧ (B ⸧ A)

I tre assiomi sono tutti validi perché sono tautologie, infatti, ad esempio, se fate la tavola della verità del primo ve ne accorgerete subito. Nel primo caso il condizionale sarebbe falso solo se l’antecedente fosse vero e il conseguente falso, ma questo è impossibile. Attraverso questi assiomi e altre regole come il modus ponens è possibile dimostrare determinati teoremi come questo:

Teorema: ├ (~ A ⸧ A) ⸧ (B ⸧ A)

1 ├ ~ A ⸧ (A ⸧ ~ B)

2 ├ (~ A ⸧ (A ⸧ ~ B)) ⸧ ((~ A ⸧ A) ⸧ (~ A ⸧ ~ B))

3 ├ (~ A ⸧ A) ⸧ (~ A ⸧ ~ B)

4 ├ (~A ⸧ ~ B) ⸧ (B ⸧ A)

5 ├ (~ A ⸧ A) ⸧ (B ⸧ A)

È facile vedere che nel secondo passaggio ho fatto uso del secondo assioma, mentre nel quarto del terzo. Anche il primo passaggio ricorda lo schema del primo assioma. Non sono scritti nello stesso modo, ma lo schema è lo stesso. Per esempio nel secondo passaggio la A diventa ~ A, la B diventa A, la C diventa ~ B. Per passare da 3 a 5 ho adoperato il sillogismo ipotetico. Il sillogismo ipotetico segue questa forma: A ⸧ B, B ⸧ C ├ A ⸧ C.

Questo con gli assiomi si definisce in logica come sistema, ora parlerò di un altro sistema: il sistema che sta alla base del calcolo proposizionale. È un metodo fantastico che permette di provare tramite un calcolo che un determinato argomento è corretto, nel senso che la conclusione deriva effettivamente dalle premesse e che se le premesse sono vere, se il ragionamento è deduttivo, allora la conclusione è vera. Il calcolo si basa su regole di inferenza. Ci sono regole di inferenza per ogni connettivo, una regola per l’estrazione o l’eliminazione e una regola per l’introduzione. Le regole sono le seguenti.

~ E (eliminazione della negazione): se ~ ~ A, allora A.

~ I (introduzione della negazione): ipotizzare per assurdo che A, derivare una contraddizione, allora negare l’ipotesi (~ A).

⸧ E (eliminazione del condizionale): se ho l’antecedente (A) di un condizionale (A ⸧ B), posso derivare il conseguente (B).

⸧ I (introduzione del condizionale): ipotizzando l’antecedente (A), se si deriva il conseguente (B), allora si scrive il condizionale (A ⸧ B).

∧ E (eliminazione della congiunzione): dalla congiunzione (A ∧ B) possiamo inferire uno dei congiunti (es. B).

∧ I (introduzione della congiunzione): date due formule (A, B) si può inferire la congiunzione (A ∧ B).

v E (eliminazione della disgiunzione): partendo da una disgiunzione (A v B), derivando dei condizionali con antecedenti i due termini della disgiunzione e come conseguente un’altra formula (A ⸧ C, B ⸧ C), si può inferire il conseguente (C).

v I (introduzione della disgiunzione): da una formula qualsiasi (A) possiamo inferire una disgiunzione con un’altra formula (A v B).

Queste sono le regole principali, poi ci sono delle regole derivate, come la legge di de Morgan (~ (A∧ B) ↔ (~A v ~ B)), ma qui bastano queste. Per capire come funziona il calcolo farò un esempio semplice preso da un sillogismo famoso: il sillogismo disgiuntivo. Dimostrerò il sillogismo disgiuntivo:

A v B, ~ B ├ A

A A v B

A ~ B

H A

⸧ I A ⸧ A

H B

H ~ A

∧ I B ∧ ~ B

~ I ~ ~ A

~ E A

⸧ I B ⸧ A

v E A

Seguendo l’esercizio: “A” sta per assunzione; “H” sta per ipotesi; nel primo passaggio dopo la prima ipotesi ho applicato la regola dell’introduzione del condizionale ottenendo una tautologia (A ⸧ A), l’ipotesi (A) e questo passaggio mi servono per applicare la regola dell’eliminazione della disgiunzione; ho ipotizzato uno dei disgiunti (B), poi ho ipotizzato l’altro negandolo (~ A); siccome nelle assunzioni la mia ipotesi è negata (~ B), è facile vedere che ne segue una contraddizione con la prima ipotesi, perciò per la contraddizione introduco una congiunzione (B ∧ ~ B) e poi nego la seconda ipotesi (~ ~ A), avendo quindi una doppia negazione che si risolve nell’altro termine disgiunto affermato (A); a questo punto inferisco un condizionale (B ⸧ A) e, avendo i due condizionali (A ⸧ A, B ⸧ A), posso, eliminando la disgiunzione, ottenere il termine che mi interessa (A). Penso che il tutto possa essere espresso con questo argomento:

O il calice è d’oro o è d’argento; ma non è d’argento; dunque è di oro.

1 O il calice è d’oro o è d’argento.

2 Non è d’argento.

3 Supponiamo che sia d’oro.

4 Se il calice è d’oro, allora il calice è d’oro.

5 Supponiamo invece che il calice sia d’argento.

6 Questo vorrebbe dire che non è d’oro.

7 Noi sappiamo che non è d’argento, questo contraddice la nostra ipotesi.

8 Il calice deve essere di oro

9 Se il calice è d’argento, allora è d’oro

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10 Il calice è d’oro