Desde niño que Queen es mi banda favorita. Cuando tenía 16 años leí que Brian May, el guitarrista de la banda (y doctor en astronomía desde 2007), construyó su propia guitarra a sus 16, la mítica Red Special. Esto elevó a May a la categoría de ídolo, y como ya había honrado a Galileo intentando construir telescopios y a von Braun intentando construir cohetes, decidí seguir la tradición y me lancé a construir mi propia Red Special. Luego de casi dos años fabricando las piezas, trabajando la madera y diseñando las cápsulas y circuitos, mi primera guitarra eléctrica lanzaba sus primeros acordes, para el pesar de los oídos de mis padres. Mi gran orgullo y uno de mis grandes logros, adorna ahora una pared en su casa. Volviendo a Queen, en 1975 se lanzó la joya de disco titulado A Night at the Opera, que incluye la épica Bohemian Rhapsody. Este disco incluye también la canción número 39 de Queen como banda, la que fue compuesta por Brian May y fue curiosamente titulada ’39. El título es simpático y a muchos hace pensar en una historia de la segunda guerra mundial pero en realidad su contenido es una oda a la física relativista de Einstein.

Teoría de la Relatividad Especial

Mi primer encuentro con la teoría de la relatividad fue a través del libro Relatividad para principiantes del físico mexicano Shahen Hacyan, el que encontré por casualidad por allá en 1995 recorriendo la bodega de la biblioteca de mi escuela. El libro es muy recomendable, bastante ameno y entretenido, me hizo soñar con entender de qué se trataba el trabajo del famoso Albert Einstein, que en esos años sólo me hacía pensar en el perro del Doc Brown. Así como A Night at the Opera, la relatividad especial es una de las joyas del siglo XX y fue establecida por Einstein en 1905. Señala que las leyes de la física no dependen de la orientación y estado de movimiento de un experimento. Una de las consecuencias de esta teoría es que el tiempo puede fluir de manera diferente en distintos sistemas de referencia. Este efecto conocido como dilatación del tiempo ha sido verificado experimentalmente por lo que sabemos que es un efecto real y no una ilusión o el resultado de relojes defectuosos. Einstein demostró que un reloj B marcha más lento en un tren que se mueve rápidamente con respecto a otro reloj A (idéntico), por lo que al compararlos (en física una medición siempre corresponde a comparar dos sistemas) será posible notar que el reloj A marcará más tiempo que el reloj viajero (B).

Es importante destacar que los efectos relativistas son importantes sólo cuando la velocidad relativa de los sistemas es cercana a la velocidad de la luz en el vacío (300.000 km/s). A las velocidades cotidianas que nos movemos estos efectos son tan minúsculos que es imposible medirlos. Además la dilatación del tiempo es sólo una de las consecuencias de la relatividad especial.



Sistemas de referencia y simetría de Lorentz



Probablemente todos hemos experimentado esa extraña sensación que engaña nuestro cerebro por una fracción de segundo en el metro o la estación de trenes cuando creemos que nuestro tren se mueve pero en realidad es el tren de al lado el que se mueve en la dirección contraria. Sólo basta mirar a nuestro alrededor para verificar que todo está en reposo por lo que concluímos que es el otro tren el que comienza a moverse. Pero ¿qué pasaría si no hubiese algo para comparar y determinar si nos movemos o no? Supongamos que estamos en un tren (al que llamaremos tren A) y vemos por la ventanilla pasar otro tren (tren B) hacia la derecha, ¿quién se mueve? ¿es el tren B el que se mueve hacia la derecha mientras que el tren A está en reposo? ¿o es el tren B el que está en reposo y nuestro tren A se mueve hacia la izquierda? La respuesta de acuerdo a la relatividad es que no importa, las leyes de la física son las mismas independiente de cómo hagamos una medición, en movimiento o en reposo, por lo que cuando realizamos un experimento si nos movemos o no es irrelevante, las leyes de la física serán las mismas. En física se dice que no hay sistemas de referencia privilegiados, es decir, al realizar un experimento en el tren A o en el tren B es imposible encontrar diferentes leyes de la física. Notar que si realizamos un experimento en el tren A, las cosas pueden verse extrañas o diferentes desde el tren B, sin embargo si en nuestra observación tomamos en cuenta el movimiento entre A y B, encontraremos que el resultado del experimento obedece las mismas leyes que las obtenidas en el tren A. Este enunciado tan simple (en realidad es de una simpleza aterradora) es el corazón de la relatividad de Einstein y se conoce como simetría de Lorentz, en honor al físico holandés Hendrik Lorentz, sentado junto a Einstein en la famosa foto del Congreso de Solvay. Dado su gran éxito experimental, las teorías más importantes que tenemos hoy para describir el Universo (la relatividad general y el modelo estándar de física de partículas) tienen a la simetría de Lorentz como componente básico, por esto la relatividad especial es considerada el pilar principal de la física moderna. Por esto también somos muchos los interesados en estudiar posibles desviaciones de la simetría de Lorentz.

Paradoja de los gemelos

En física hasta antes de Einstein, el tiempo era considerado una variable absoluta, es decir, que el tiempo es el mismo para todo el Universo, sin importar dónde o cómo se mida, un segundo es el mismo en la Tierra, en Andrómeda, en reposo o en movimiento, el tiempo newtoniano es algo casi divino que no puede ser alterado. Einstein revolucionó la física en 1905 desafiando al gran Newton con su teoría de la relatividad, en la que una de sus consecuencias es que el tiempo no es absoluto. El mismo Einstein encontraba poco intuitiva la idea de que el tiempo fluya de distinta manera para dos observadores que se mueven uno con respecto al otro. Sin embargo a la naturaleza poco le importa nuestra intuición. Así como la comida en un país lejano que visitamos por primera vez nos puede parecer extraña o hasta bizarra, los efectos relativistas nos parecen extraños sólo porque no estamos acostumbrados a ellos debido a que nos movemos muy lento comparado con la luz. Una manera de discutir lo extraña que puede ser la relatividad es a través de las famosas paradojas, resultados aparentemente contradictorios que funden el cerebro de todo estudiante que toma un curso de relatividad. Existen muchas de ellas, sin embargo es importante destacar que, como en toda paradoja, el resultado contradictorio es s[olo aparente y todas tienen una solución razonable dentro del contexto de la relatividad (lamentablemente la palabra paradoja se suele usar como sinónimo de contradicción, caí en este error por mucho tiempo). La paradoja más famosa es la llamada paradoja de los gemelos, la que es discutida y presentada en muchos libros y medios, sin embargo muchas veces se cae en el error de describir la situación (extraña pero real) y no la paradoja misma (incluso Neil deGrasse Tyson comete en este error).

Situación: se comienza con un par de mellizos: Alberto y Beatriz (no tienen por qué ser gemelos, sólo basta que sean dos personas de la misma edad). Cuando el par de hermanos tiene 20 años de edad, Beatriz que es astronauta se embarca en un viaje espacial mientras que Alberto se queda en la Tierra. La nave espacial se desplaza al 99.98% de la velocidad de la luz, por lo que los efectos relativistas serán notorios. Beatriz viaja durante nueve meses (medido en su reloj) y luego comienza el viaje de regreso a la Tierra. De acuerdo a su reloj el viaje ha tomado 18 meses (un año y medio), por lo que a su regreso Beatriz tendrá algo más de 21 años de edad. La relatividad nos dice que el tiempo transcurre de diferente manera en ambos sistemas (nave espacial vs. Tierra) y es posible calcular que el año y medio que Beatriz estuvo de viaje corresponde a 75 años según los relojes en la Tierra, es decir, Beatriz encontrará que su hermano Alberto tiene 95 años de edad. Este es el resultado esperado según la relatividad y si bien el experimento no ha sido realizado con personas, la validez de la relatividad ha sido verificada una y otra vez con sistemas de partículas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz y y relojes atómicos en satélites. El resultado es inesperado, pero hasta aquí no hay paradoja. Advertencia: como decía antes, muchos libros y videos le llaman paradoja a lo descrito hasta aquí, lo que es incorrecto, la paradoja se describe un poco más abajo.

El problema (o aparente contradicción) aparece cuando nos cuestionamos algo que el mismo Einstein usa en su teoría y que es un principio básico que data desde los tiempos de Galileo. Dado que ambos observadores (Alberto y Beatriz) son equivalentes, es decir, ningún observador es mejor que otro (no hay sistema de referencia privilegiado), desde el punto de vista de Beatriz es ella quien (dentro de su nave) está en reposo, mientras que Alberto y la Tierra son los que se alejan por 9 meses para luego acercarse nuevamente, por lo que de acuerdo con la dilatación del tiempo, es Alberto el que debería envejecer menos. ¿Qué ocurrirá cuando Beatriz baje de su nave para reencontrarse con su hermano?, ¿será ella más joven que Alberto?, ¿será Alberto más joven que ella? La respuesta nos la da la relatividad especial: basta seguir la receta de Einstein y usar las llamadas transformaciones de Lorentz para calcular el tiempo transcurrido para cada uno y voilà: según la relatividad el tiempo transcurre más lento en la nave espacial y por lo tanto Alberto será 75 años más viejo que su hermana a su regreso a la Tierra.

Paradoja: Dado que la observación de Alberto es tan válida como la de Beatriz ¿cómo es posible que difieran en el resultado?, ¿por qué, según la relatividad, el tiempo en la nave transcurre más lento y no al revés? Esta es la paradoja, este es el verdadero resultado (aparentemente) contradictorio llamado paradoja de los gemelos. Insisto en esto porque en muchos lados se le llama paradoja al hecho que uno de los hermanos será más joven que el otro, pero eso no es una paradoja, es un resultado natural de la relatividad.

La verdadera paradoja es el resultado contradictorio entre Beatriz y Alberto, ya que según cada uno de ellos es el otro quien envejecerá menos, en otras palabras, la verdadera paradoja es que el sistema de referencia de Beatriz tiene algo especial que no tiene el sistema de referencia de Alberto, ¿qué hace la diferencia entre Alberto y Beatriz?

Solución a la paradoja de los gemelos

El gran Richard Feynman decía que en física no existen las paradojas, sólo interpretaciones incorrectas. Esto es justamente lo que ocurre con nuestros mellizos: aparentemente el sistema de referencia A (Alberto en la Tierra) es tan válido como el sistema de referencia B (Beatriz en su nave espacial), sin embargo esta equivalencia entre ambos sistemas no es tal, al considerar el viaje completo los sistemas A y B no son equivalentes, el sistema de Alberto es diferente al sistema de Beatriz, es por esto que la relatividad nos dice que es ella quien experimenta un tiempo menor. Sin embargo la respuesta anterior es parcial, ya que la siguiente pregunta obvia es ¿qué hace que el sistema B sea diferente al sistema A?

Uno de los grandes problemas con la relatividad es que las pocas veces que la paradoja de los gemelos se describe apropiadamente es su solución la que presenta de manera errónea. “Solución” (popular pero incorrecta): la relatividad especial sólo puede describir movimiento uniforme (velocidad constante) y Beatriz comienza desde el reposo, luego acelera, luego frena para darse la vuelta y repite el proceso, por lo que es la presencia de aceleración lo que hace especial a su sistema de referencia con respecto al sistema de Alberto, quien no experimenta estos cambios de velocidad. Este es un error común porque mucha gente piensa que la relatividad especial no funciona cuando hay cambios de velocidad (aceleración) y que para movimiento acelerado se necesita la relatividad general, lo que es incorrecto. Sin entrar en detalles, no es difícil diseñar una versión modificada de la paradoja de los gemelos en que Beatriz se mueve a velocidad constante durante todo el viaje y aún así el tiempo transcurre más lento para ella. Es fácil también diseñar versiones del problema usando trillizos (tres relojes) donde no hay aceleración alguna y el resultado es el mismo; también se puede diseñar una versión en la que Beatriz y Alberto experimentan la misma aceleración y nuevamente el resultado es el mismo. Por lo que no, la aceleración no es responsable del efecto. A continuación se explica el verdadero motivo por el cual los sistemas de referencia de ambos mellizos no son idénticos y por lo tanto Alberto envejece más que Beatriz.

Solución: el sistema de referencia de Beatriz es en realidad la combinación de dos sistemas de referencia, el primero (sistema B 1 ) describe su viaje alejándose de la Tierra, el segundo (sistema B 2 ) describe su retorno. Esta es la diferencia con Alberto, quien es descrito por un único sistema de referencia (sistema A) en el problema.

Me gusta visualizar otra manera de entender la diferencia entre Beatriz y Alberto usando trenes (siempre me han gustado los trenes): Beatriz emprende un viaje de ida y vuelta en un tren relativista y su hermano se queda en la estación, la manera en que funcionan los sistemas de referencia en relatividad es equivalente a decir que los trenes relativistas sólo se mueven en un sentido, por lo tanto si Beatriz quiere volver para reunirse con su hermano debe cambiarse de tren: bajarse del tren B 1 que la aleja de la estación y subirse a otro tren B 2 que se mueve en el sentido contrario, este cambio de tren representa el cambio se sistema de referencia que distingue el viaje de Beatriz.

Existe también una manera formal de comprender por qué el tiempo de Beatriz fluye más lento que el de Alberto, lo que requiere conceptos algo avanzados de geometría Minkowskiana, sin embargo puede resumirse en palabras simples como “el tiempo medido es menor en la línea de espaciotiempo más larga”. Como puede verse en el diagrama a continuación, la línea de espaciotiempo de Beatriz (en azul) es más larga que la línea de espaciotiempo de Alberto (en rojo), por lo tanto debido a las propiedades del espaciotiempo de Minkowski (que describe geométricamente a la relatividad especial), el reloj de Beatriz avanza más lento que el reloj de su hermano en la Tierra.

Conclusión: la diferencia de edad de los mellizos (o gemelos) cuando se reencuentran no es una contradicción, es una consecuencia natural de la relatividad, la paradoja es la aparente contradicción entre los mellizos (o gemelos) sobre quién será más joven que el otro; sin embargo no hay contradicción porque la equivalencia entre los dos sistemas de referencia es sólo aparente y la relatividad funciona; Alberto será más viejo que su hermana cuando se reencuentran debido a que ella se movió muy rápido y además porque recorrió el espacio y el tiempo (espaciotiempo) en dos sistemas de referencia, lo que hizo que sus relojes marcharan más lento que los relojes acá en la Tierra. Dicho de manera más formal (usando el argumento geométrico): Beatriz será más joven que su hermano porque ella recorre una ruta más larga en el espaciotiempo.

Debido a varias preguntas en la sección de comentarios, he construído el diagrama de espaciotiempo para los tres diferentes sistemas de referencia, donde puede puede verse que en todos los casos la trayectoria de Beatriz en el espaciotiempo es más larga que la de Alberto, por lo tanto el reloj de ella marchará más lento que el de su hermano en la Tierra.

Brian May y su canción relativista

La canción ’39 la escuché por primera vez interpretada por George Michael en el concierto Tributo a Freddie Mercury realizado en Wembley en 1992. Me gustó mucho pero honestamente no valoré su contenido. En 2005 escuché la versión del disco en vivo Return of the Champions en la que el mismo Brian le explica al público: “esta canción es acerca del tiempo; es sobre un hombre que viaja en una nave espacial para descubrir nuevos mundos. Este hombre regresa un año más tarde pero para la gente en la Tierra este planeta es 100 años más viejo”. En varias entrevistas Brian ha explicado que el protagonista de la canción sufre los efectos de la dilatación del tiempo, quien al volver a la Tierra encuentra que su esposa y todos sus conocidos murieron hace años. El coro incluye la frase “Don’t you hear my call though you’re many years away?” en la que May juega magistralmente con las palabras y usa el tiempo como distancia; la canción también describe el viaje espacial como “For many a lonely day sailed across the milky seas” en la que hace referencia a un viaje a través de la Vía Láctea; también menciona un encuentro con su hija “For so many years have gone, though I’m older but a year / Your mother’s eyes, from your eyes cry to me”. Es decir, ’39 relata la tragedia de perder a los seres queridos por culpa de la dilatación del tiempo, consecuencia de la relatividad especial. Brian May ha explicado que escribió la canción inspirado en cómo el mundo se ve diferente cuando te vas lejos de tus seres queridos y al regreso las cosas pueden haber cambiado mucho, mensaje que esconde en forma de genial recurriendo a la relatividad de Einstein.



El éxito de Queen hizo que May abandonara su doctorado en astronomía en el Imperial College de Londres, tiempo en el que incluso había publicado un paper en la prestigiosa revista Nature. Sin embargo el lado científico de Brian May está presente en Queen. Además de la oda a la relatividad descrita arriba, la famosa We Will Rock You que siempre hace vibrar estadios, en su versión de estudio incluye golpes y aplausos, los que fueron generados mediante la repetición de un grupo pequeño de golpes y aplausos desfasados en múltiplos de números primos en tiempo para generar el efecto de mucha gente distribuida en un gran espacio, como el mismo May explica en esta entrevista. Luego de varias décadas, May volvió al Imperial College para terminar su doctorado, tomó los cursos que le faltaban y realizó observaciones en las Islas Canarias, donde deleitó a muchos fanáticos ya que siempre iba acompañado de su Old Lady (como también se le conoce a la Red Special). Como todo estudiante de doctorado, escribió, presentó y defendió su tesis y en agosto de 2007 recibió el grado de Doctor en Astronomía. Ha escrito varios libros de divulgación de la astronomía y hoy en día es un activo defensor de los derechos de los animales así como un apasionado por la estereoscopía, lo que permite generas imágenes 3D.

[Actualización (Jul.2015)] Brian May también es colaborador científico de la misión New Horizons de NASA que sobrevoló el planeta enano Plutón en julio de 2015. May ha usado la técnica de estereoscopía para generar la primera vista 3D de la superficie de Plutón usando imágenes capturadas por la nave. A continuación un breve video en el que el mismo May explica su imagen.



Para mí Brian May era ya un maestro por su música; pasó a ser un ídolo cuando supe que su Red Special fue creada por él mismo; la letra de ’39 lo elevó a la categoría de genio. Ojalá en español hubiese una palabra como badass, que es la mejor manera de describirlo.

Este post es la respuesta a una conversación con Laura Morrón hace unos meses en que discutíamos cómo la famosa paradoja de los gemelos suele presentarse en forma errónea y además su más conocida solución es incorrecta. Existen varios artículos en los que se menciona el tema de ’39 y la dilatación del tiempo, sin embargo al igual que en el post sobre Gravedad, este post sólo usa esta canción y al genio de Brian May como pretexto para hablar de física.

Imágenes: BrianMay.com, American Institute of Physics.