Aftenposten melder i dag at Statens kartverk har oppdatert den offisielle lengden av Norges kyst med hele 18.000 km, fra 85.000 til 103.000 km. Når man tar i betraktning at jordas omkrets ved ekvator er 40.000 km er det et ganske imponerende tall. «Dette må være feil» er kanskje det første man tenker. «Disse tallene er altfor store.» Men nei, det er faktisk slik, at norskekysten er enormt lang, og den blir garantert lenger.

Mer detaljerte kart gjør nemlig kysten lenger. Flere kriker og kroker i fjordene, for eksempel, bidrar ganske mye til den totale lengden, i tillegg til at man får med seg flere øyer. (I oppdateringen er det rundt 240.000 nye øyer!)

For en matematiker er dette et velkjent fenomen. En god modell for norskekysten er nemlig en såkalt fraktal. En typisk fraktal har uendelig lang omkrets, men er ikke uendelig i areal. Den matematiske modellen av Norge får plass på kartet, men kystlinjen er uendelig lang!

Hvorfor det? Vi kan si det på denne måten:

Lengden på «linjalen» man måler kysten med påvirker den totale lengden.

Med en liten nok linjal vil vi «oppdage» så små detaljer at kysten lett blir like lang som avstanden mellom jorda og månen. Kanskje i praksis til og med som avstanden til sola! Jo mindre målestav, jo lenger kyst.

Dette høres helt vilt ut. Om jeg måler lengden på stua med en tommestokk eller en fyrstikk burde da være irrelevant. Det skal ikke påvirke den totale lengden! Riktig. Saken er at stua ikke er en fraktal. Da er det irrelevant hvordan man måler.

La oss se på den konkrete forskjellen mellom en enkel geometrisk figur på den ene siden og en fraktal på den andre siden. Her er en sirkel, med et lite område markert:

Når vi gjentatte ganger forstørrer det lille området av sirkelen ser det etterhvert ut som en rett linje, slik:

Vi sier at sirkelen er «endimensjonal» på grunn av denne egenskapen. (Vi snakker nå om kanten på sirkelen. Det grønne fyllet er todimensjonalt.)

Alle vet at omkretsen til sirkelen er , der er radien av sirkelen. Altså ikke uendelig. Dette er fordi omkretsen er endimensjonal og «oppfører seg pent» når vi forstørrer den.

Så ser vi på denne figuren, som har fått navnet «Kochs snøkrystall» etter den svenske matematikeren Niels Fabian Helge von Koch (1870 — 1924):

Snodige greier. Vi må forklare nærmere hva dette er. Se på dette bildet:

Konstruksjon av Kochs snøkrystall

Man starter med en trekant. På hver side av trekanten lager vi så en mindre trekant. Totalt har vi nå en 12-kant. På hver av disse kantene legger vi igjen trekanter. Dette gir en 48-kant (bare tell!). Og så fortsetter vi — i det uendelige. Husk, dette er matematikk. Da kan vi gjøre noe uendelig mange ganger.



Og det skulle være ganske klart nå, at dersom man forstørrer snøkrystallen vil det alltid være nye, små trekanter som dukker opp — det er jo tross alt slik vi har konstruert den. Vi får aldri en rett linje slik som med sirkelen. Se bare her:

Hjælpes.

Kanten på snøkrystallen er hakkete og ujevn, på alle forstørrelsesnivåer. Den er også det vi kaller «selvsimilær». Det betyr at den «ser lik ut» uansett hvor mye vi forstørrer den. Nå er det ikke så lett å si at krystallens kant er «endimensjonal», og vi kan få problemer når vi ønsker å finne omkretsen.

Hva er så den totale omkretsen av krystallen? Hver omgang med å legge til trekanter øker faktisk den totale lengden med en faktor 4/3 . Etter 20 omganger har den opprinnelige lengden økt med en faktor 315.

Den totale lengden bare vokser og vokser, og går mot uendelig for den ferdige snøkrystallen!

Tenk deg nå at du ønsker å måle omkretsen med en linjal. Det er ikke så vanskelig å se, at dersom linjalen er veldig veldig liten får du en veldig veldig stor omkrets, siden linjalen «finner» flere kriker og kroker. Dette er nøyaktig det samme som har skjedd når Statens kartvesen oppdaterer den offisielle lengden til Norges kyst. De har hatt et bedre kart, dvs klart å måle lengden til kysten med en mer nøyaktig linjal.

Til slutt vil jeg filosofere litt. Hvorfor mener vi at en fraktal er en bedre modell for norskekysten enn en jevn kurve — riktignok en med en del kriker og kroker? Altså, på et kart er norskekysten helt klart en trukket linje med en endelig lengde. Hvorfor snakker vi om fraktaler?

Saken er at fraktalene forteller vitenskapsfolkene noe grunnleggende om hvordan verden er snekret sammen. De forteller noe om de naturlige prosessene som har skapt norskekysten i første omgang! Geologiske prosesser foregår på flere skalaer — fra bevegelser i jordskorpen, via isbreers skuring, til luftas erosjon av fjell og stein. Dette gir opphav til detaljene som finnes på de ulike skalaene i norskekysten. (Geologene vil nok si at jeg gjør en grov forenkling her. Men jeg er ikke geolog!)

Dette gjelder også i andre vitenskaper. Fraktaler dukker også opp i flere og flere sammenhenger, som for eksempel i biologi. Har du studert blomkålen i det siste? Romanesco-broccoli er et annet, kanskje enda mer slående eksempel fra samme slekt:

Ta en kikk på bildene på denne nettsiden for å se forstørrelser av grønnsaken. Du kan klart se at hver av de store «spiralene» inneholder kopier av seg selv! Og man kan spørre seg om hva det forteller om biologien, om hvordan planter kan vokse, og hvordan «oppskriften» på dette er kodet i arvematerialet. Men det er en annen historie.