こんな光景を見ることはめったにないだろう。なんと高さ約108mの人工の滝が、超高層ビルから流れ落ちている。クールだが、多額の費用も必要になりそうだ。

なぜなら、噴き出している水は無料ではない。水だけではなく、ビルの上まで水を運び上げるエネルギーも必要だ。このため短い時間しか滝を流していないのである（なお、動画は記事の最後で見ることができる）。

現実世界で起きた今回の事例には、いくつか物理学的な観点から興味深い要素がある。このため素晴らしい物理の宿題になる。さあ、この滝を動かすために必要な仕事率（と費用）を試算してみよう。

滝を動かすために必要な仕事率は？

そもそも、どうしてこの人工の滝を動かすためにエネルギーが必要なのだろうか？ 仕事とエネルギーの法則によると、ある系で行われる仕事量は、エネルギーの変化量と等しい。

水と地球からなる系を選ぶと、そこには2種類のエネルギーが存在する。運動エネルギーと、重力による位置エネルギーだ。運動エネルギーは物体の速度が増すと増加し、重力による位置エネルギーは高さが高くなると増加する。

この巨大な滝において、水は一定の速度で上がっていくと仮定できるので、運動エネルギーは変化しない。つまり、すべての仕事は単に、水の重力による位置エネルギーが増加することによって行われるのである。

ここでひと呼吸置こう。重要な点がふたつある。ひとつ目に、系を選んでから、仕事とエネルギーの方程式を用いたことに注目してほしい。ここでは、単に最初のエネルギーと最終的なエネルギーが等しくなることを用いたわけではなかったのだ。実際、それはここではうまく機能しない。仕事量がゼロの場合でさえも、仕事とエネルギーの方程式から始めるのは依然として良案である。

ふたつ目に、位置エネルギーそのものは問題にならないことに触れるべきだろう。位置エネルギーの“変化”こそが重要なのだ。つまり、特定の場所で「y＝0m」（y：高さ）となるわけではない。どこか適当な場所を選べば、そこを「y＝0」と置くことができるのだ。

しかしここでは、大量の水を動かすのに必要な仕事量はあまり問題ではない。いや、水を動かし続け、滝の上に運ぶための仕事率を求めたいのだ。仕事率は、仕事が行われる割合と定義される。これを位置エネルギーの変化とともに考えると、つぎの数式が得られる。

誰も一定の時間と一定の水の量を扱いたくはない。なので、これらふたつの要素を一緒にしてみよう。水の質量を時間で割れば、質量流量が得られる。つまり、どのくらいの量の水（kg/秒）が滝を流れ落ちるのかを表す量だ。

これを“f”と置く。この値がわかれば仕事率を算出できるのだが、正確な値は不明である。もし、滝の横幅が16m（動画から割り出した）、奥行きが20cmで、1m/秒で落下しているとすれば、質量流量は3,200kg/秒と試算することができる（水の質量を1立方メートルあたり1,000kgとする）。これを108mの高さに当てはめると、仕事率は339万Wになる。

そして正解は？

答えは求められたが、この値は間違っている。このウェブサイトによると、この滝は185kWの仕事率が必要だという。

この仕事率を質量流量の算出に用いると、174kg/秒という値が得られる。わたしは滝の横幅を16mで適切だと考えているため、これを使って滝の奥行きと水の落下速度を新しい値に変更しよう。奥行きを10cmと置けば、速さは0.1m/秒になる。これでOKだろう。

実際には、水の落下速度はもっと遅いかもしれない。この試算は、電力量が100パーセント有効に利用されているという条件下で行われている。おそらく実際の奥行きはほんの5cmで、速度はもう少し遅いだろう。

宿題

ついでに宿題を出したいと思うので、ぜひやってみてほしい。

この滝を1日運用するために必要な費用を試算しなさい。

もし空気抵抗なしで滝が落ちるとしたら、水が地面に落ちるまでどのくらい時間がかかるか？

この滝を人力で運用したいとする。1人の人間が50Wの出力を維持できるとすると、水を頂上までくみ上げるのに何人必要か？

この滝の運用に太陽光発電を用い、太陽が出ている時間のみ運用したいとする。どのくらい大きな太陽光パネルが必要か？ 太陽光パネル1平方メートルあたり500Wの電力を生み出せるとする。