Por Mark C. Chu-Carroll

Escrevendo este blog, eu recebo um monte de e-mails. Uma das coisas que eu recebo uma vez ou outra é um tipo particular de ignorância sobre a ideia de infinito. Eu recebo o mesmo tipo básico de “questões inflamadas” estúpidas em um monte de diferentes formas: argumentos sobre diagonalização de Cantor; argumentos sobre cálculo (que eu nunca nem escrevi sobre!); argumentos sobre números surreais; e o pior de tudo, os argumentos sobre nulidade.

Há um pouco da loucura fundamental, que é a base de todas as “inflamações”, mas Infinito não é um número. É um conceito matemático relacionado com números, mas, não, não é um número.

A versão mais recente disto foi um e-mail na semana passada, intitulado “A nulidade relativa e sua ignorância dela”. É muito típico da confusão básica que resulta do tratamento do infinito como um número.

“Eu estava pesquisando na internet coisas sobre nulidade, isto que você tem a mania de dizer que é um novo número. Desde que a Arrogância e a Ignorância da internet estão em um momento alto, eu pensei que eu poderia compartilhar alguma explicação dele, e como eu não tenho certeza se a minha resposta foi apresentada em seu site.

Primeiro, 1/0 é infinito porque se você fosse dividir 1 em zero de peças, você precisaria dividir um número infinito de vezes. O mesmo vale para -1/0.

Agora, o que é interessante sobre o infinito é que quando você adiciona ou subtrae um número a partir dele, o infinito permanece. Quando você subtrae o infinito do infinito, algo mais acontece inteiramente: os dois conceitos empilham uns com os outros. Assim, [1/0 – 1/0] dá-lhe 0/0 como os denominadores que não precisam mudar, obviamente. Para simplificar, basta pensar nos sinais positivos e negativos como pontos cardeais ao lidar com o infinito.

Agora, o que isto significa é que ambas as infinidades direcionais positivas e negativas estão sendo representadas, e que é a totalização do avião catesiano, ou nulidade. Você pode pensar nisso como o limite para o plano cartesiano, ou a totalidade do plano cartesiano, ou nenhum dos planos cartesianos… o que ternos seu navio. A nulidade é o somatório de todos os conjuntos do infinito.

Espero que isto ajude.“

Você pode ver a confusão de imediato: “1/0 é infinito porque…”. Vrumm. No. 1/0 não é infinito. 1/0 é nada. 1/0 não está definido em nossos sistemas de número: não é um número. Na verdade, não é apenas que não é um número, não é nada. É uma expressão sem sentido. Perguntar o que é 1/0 é como perguntar “Qual é a raiz quadrada de uma agradável ameixa suculenta?”. Ou “o que faz com que o predicado lógico da declaração “∀x: P (x) ∧¬P (x)” verdadeiro?”

Se você tratar o infinito como um número, você fundamentalmente quebra tudo o que faz o trabalho da aritmética. Por exemplo, a definição mais básica de números que eu conheço é aritmética de Peano. a Aritimética de Peano é um conjunto de axiomas que define como os números naturais trabalham. É o conjunto de axiomas que são tipicamente usados ​​como a base fundamental de uma definição formal de números. Um dos axiomas de Peano diz que para cada número natural, há exatamente um número natural que é o seu sucessor; e cada número natural com excepção do zero é o sucessor de exatamente um número natural.

O que é o sucessor do infinito? Ou a frase de uma forma ligeiramente diferente (utilizando a definição de Peano de adição), o que é ∞+1? Como meu correspondente sem pistas diz, “o que é interessante sobre o infinito é que quando você adiciona ou subtrae um número a partir dele, o infinito permanece.”

Então, ∞+1 = ∞. e ∞+1+1 = ∞. e ∞+1+1+1 = ∞.

Também subiram os axiomas de Peano, a direita para fora da janela. A falha dos axiomas de Peano não é uma questão teórica trivial, obscura. Se o axioma do campo falha, então todas as provas sobre os números naturais, cada declaração sobre a forma como os números naturais trabalham, perde a sua validade. Nada é seguro. 1+1=2? Não: axiomas de campo dizem que, se x=y, e x+z=y+z deixa z=∞. Então ∞+1+1=∞+2. ∞ + 1 = ∞, portanto ∞+1=∞+2. Removendo o ∞ de ambos os lados, e 1 = 2. Mas espere, você disse que não pode remover os ∞ de ambos os lados! Em infinito como um número, se 1/0=∞, então sim, você pode.

O retorno natural que é algo como “Bem, então ∞ não é um número natural, mas ainda é um número.”

Ainda não é bom. Primeiro, nós normalmente definimos números usando os naturais de Peano como ponto de partida. Mas mesmo se não o fizermos, se começarmos com alguma outra construção, a maior parte da matemática que fazemos com números depende, em última instância, no fato de que os números formam um campo. Se você está olhando para números racionais, números reais, números complexos, ou qualquer outra coisa, eles formam uma estrutura matemática chamada de campo. Os campos são definidos por um conjunto de axiomas fundamentais. Se o infinito é um número, em seguida, os axiomas de campo falham – e se os axiomas de campo falham, então praticamente tudo o que fazemos com a matemática – a cada prova sobre os números, cada fato numérico, é tudo lixo.

O retorno típico para isso é algo como “Então ∞ não é um número, mas ainda é uma coisa, e 1/0=∞” Não, ainda não está certo. Os axiomas de campo definem a divisão em termos do inverso multiplicativo, e ambos multiplicação e o inverso multiplicativo estão fechados – o que significa que você não pode obter um valor fora dos números reais de qualquer coisa definida usando a multiplicação ou o inverso multiplicativo no campo do número real.

Mas espere, você pode dizer, eu me lembro claramente falando sobre o infinito na aula de cálculo: limx→∞1/x=∞!

Limites não estão realmente falando de números, eles estão falando sobre curvas. Quando falamos sobre o infinito em limites, estamos falando de linhas de tendência, não necessariamente números. Alguns limites de tendência para um número; alguns limites não seguem uma tendência em tudo; e alguns seguem uma tendência para um aumento sem limites. Essa última é o que queremos dizer quando dizemos que um tendências de limite para o infinito.

Há uma ilustração fácil do que quero dizer quando digo que um limite fala sobre a tendência de uma curva. Pense de uma das curvas mais simples: y=1/x. Qual é o limite de 1/x quando x tende a 0? Isso não é uma questão significativa. Você precisa indicar de qual direção você está seguindo a curva. Se x≥0, então limx → 01/=x+∞; x≤0 se, em seguida, limx→01/x=-∞. Nós não estamos falando sobre os números lá, mas sobre a direção de uma tendência ilimitada. Quando dizemos “+∞” lá, nós estamos falando sobre o fato de que a curva aumenta sem estar vinculada no sentido positivo. Quando dizemos que o limite é -∞, nós não estamos dizendo que a curva converge em um número específico chamado de -∞; o que estamos dizendo é que a curva aumenta sem limite no sentido negativo.

∞ não é um número. Se fosse, ele iria quebrar os axiomas fundamentais que definem os números. A nulidade é ainda pior; ele quebra ainda mais dos axiomas fundamentais da matemática. O cara que veio essa de nulidade é um verdadeiro idiota: na apresentação mostrada pela BBC em que ele demonstra as supostas propriedades de nulidade, ele usa vários passos que só fazem sentido sob os axiomas de campo, que são violados pela nulidade. Assim, os resultados são fundamentalmente errados de uma maneira muito forte: se você definir nulidade como ele o define, então você pode usar a existência da nulidade a provar afirmações como 1≠1.

Ele simplesmente não funciona. Não há nenhuma maneira de levar os valores que representam um verdadeiro infinito, e transformá-los em números. Você pode fazer coisas como os números transfinitos de Cantor, mas eles ficam estranhos muito rapidamente – e eles não funcionam da maneira que esperamos nos números para o trabalho – por exemplo, você precisa distinguir entre números cardinais e ordinais, e você não obtêm frações. E eles nem sequer realmente se comportam como infinito! Por exemplo, se nós tratamos como um número infinito, não há número

maior do que o infinito. Mas para os números transfinitos de Cantor, se N é um número transfinito, há sempre um outro número transfinito maior do que N.

E mesmo com os transfinitos, você não pode fazer com que uma expressão como 1/0 a ter qualquer significado. 1/0 é fundamentalmente indefinido. Não é ∞. Não é ω. Não é nulidade. Não é nada. No momento em que você vê algo usar a declaração de que: 1/0=∞, você sabe que eles são uns idiotas que realmente não têm a menor idéia do que estão falando.