Ma nouvelle vidéo est extrêmement importante, puisqu’elle nous parle de l’avenir du pays !

Avant toute chose, n’hésitez pas à la partager massivement pour faire connaître ces réflexions, et aider à populariser la méthode du jugement majoritaire. N’hésitez pas aussi à la relayer par exemple sur Twitter en interpelant vos hommes politiques préférés.

En complément de cette vidéo que j’espère relativement simple à comprendre, je voudrai revenir sur les deux aspects un peu plus techniques : le théorème d’impossibilité d’Arrow, et la question des ex-aequo dans le jugement majoritaire.

(Edit du 22/10 : je vais en fait commencer par la question de la robustesse du jugement majoritaire aux manipulations stratégique, question que j’ai traitée trop rapidement et sur laquelle j’ai eu beaucoup de questions/commentaires)

Le vote stratégique dans le jugement majoritaire

Beaucoup de personnes m’ont demandé en quoi la méthode du jugement majoritaire (qui évalue les candidats sur une échelle de 7 mentions) n’est pas sensible au vote stratégique, de la même manière que la méthode des notations entre 0 et 20. Premièrement, elle n’est pas « totalement insensible » (comme je l’ai peut-être improprement suggéré), mais elle est beaucoup plus robuste. Voyons pourquoi :

La réponse courte qui ne satisfera que les matheux, c’est que le jugement majoritaire fonctionne par une médiane, et pas par une moyenne. Et on sait que la médiane est beaucoup plus robuste aux valeurs extrêmes.

La réponse détaillée est celle que je donne dans la vidéo, mais que je vais expliciter. Imaginez un candidat ayant obtenu les mentions suivantes :

Excellent : 9%

TB : 14%

B : 16%

AB : 15%

Passable : 18%

Insuffisant : 15%

A rejeter : 13%

Comme je le dis dans la vidéo, sa mention majoritaire sera « Assez Bien à 54% ».

Imaginez que vous ayez voté « Bien », mais que ce candidat soit votre candidat préféré. Vous êtes donc tenté de faire du vote stratégique et de le mettre à « Très bien » voire « Excellent » pour le favoriser. Si vous faites ceci votre voix passera de Bien à Excellent, mais ça ne changera ABSOLUMENT pas le résultat « Assez Bien 54% ». Pour bien le voir, imaginons que tous les électeurs qui aient voté « Bien » aient voté « Excellent » à la place pour tricher, les mentions seraient alors :

Excellent : 25%

TB : 14%

B : 0%

AB : 15%

Passable : 18%

Insuffisant : 15%

A rejeter : 13%

Et le résultat de la mention majoritaire serait toujours « Assez Bien 54% ». Ca marche aussi dans l’autre sens, si tous ceux qui ont pensé et voté « Passable » décident d’exagérer en « A rejeter », on arrive à

Excellent : 25%

TB : 14%

B : 0%

AB : 15%

Passable : 0%

Insuffisant : 15%

A rejeter : 31%

Et le résultat est toujours « Assez Bien 54% ».

Évidemment, si TOUS les électeurs choisissent de ne voter que « Excellent » pour un candidat et « A rejeter » pour tous les autres, le système se casse la gueule. Mais vous noterez quand même que le système est insensible à des manipulations stratégiques même quand elles sont réalisées par un pourcentage important de l’opinion. Alors que j’ai montré dans ma vidéo que dans le système à 2 tours, quelques % de vote stratégique (dans mon cas François Nicolas Marine) peuvent décider de l’issue du scrutin.

Le théorème d’Arrow

La première fois que j’ai entendu parler du théorème d’Arrow, j’ai été surpris et choqué. Comment un théorème de mathématique peut-il nous affirmer l’impossibilité de tenir un mode de scrutin équitable ? Il s’agit d’une question organisationnelle, sociale : comment les maths peuvent-ils nous apporter une réponse aussi tranchée (et négative !). Pour bien comprendre, il faut se pencher sur la formulation exacte du théorème d’Arrow.

Le théorème d’Arrow s’intéresse au cas où les préférences des électeurs se manifestent sous la forme d’un classement des candidats (je reviendrai sur cette hypothèse plus tard). C’est-à-dire qu’on part du principe que chacun des électeurs sait classer tous les candidats par ordre de préférence. S’il y a 5 candidats que l’on dénote C1, C2, C3, C4 et C5, les classements des différents électeurs vont donc être un truc du genre

C2 > C3 > C1 > C5 > C4

C2 > C1 > C3 > C5 > C4

C1 > C2 > C3 > C4 > C5

C3 > C1 > C2 > C5 > C4

C2 > C1 > C3 > C4 > C5

C4 > C3 > C1 > C5 > C2

etc.

Il est facile de collecter cette préférence sur un bulletin de vote. La question que l’on se pose maintenant, c’est comment, à partir de ce classement réalisé par chacun des électeurs, peut-on établir un classement collectif, agrégé, qui soit le plus représentatif possible de cet ensemble de classements individuels. Par quel processus peut-on passer d’un ensemble de choix individuels, à un choix collectif « social ».

(Pour les matheux, on peut poser le problème de la manière suivante : si on a N électeurs et K candidats, le classement établi par chacun des électeurs est une permutation de l’ensemble [1;K]. On cherche une fonction qui à N permutations de [1;K] associe une permutation de [1;K]. On appelle cette fonction, une « fonction de choix social ».).

L’idée du théorème d’Arrow est qu’une telle manière d’agréger les classements individuels en un classement social collectif doit satisfaire certaines conditions naturelles. Une condition évidente est que s’il y a unanimité dans la population (tous les électeurs ont exactement le même classement), alors le classement agrégé doit être identique. Une autre condition assez évidente est que la fonction de choix social doit couvrir toutes les situations possibles (on voit par exemple dans la vidéo que la méthode de Condorcet — prendre celui qui gagne tous ses duels — peut ne pas pouvoir fonctionner dans certains cas).

La condition la moins évidente, mais qui est celle que l’on sait facilement violée, c’est ce qu’on appelle « l’indépendance des options non pertinentes ». C’est-à-dire que le classement relatif de deux candidats dans le choix social ne doit pas être modifié par des changements concernant les autres candidats dans les classements individuels. Si Jean est devant Jacques dans le choix social, cette ordre ne doit pas dépendre de où se trouve classé Paul dans les choix individuels. En particulier si l’on retire complètement Paul des classements individuels, ou que tout le monde le met premier, ou dernier, cela ne doit pas influencer l’ordre relatif de Jean et Jacques. Or on a vu qu’avec un scrutin « à tours », cette condition peut être violée, même avec seulement 3 candidats et 2 tours.

Ce que démontre le théorème d’Arrow, c’est qu’il n’existe aucune fonction de choix social qui respecte ces conditions. Ou plutôt si, il n’en existe qu’une seule : celle qui consiste à choisir dès le départ UN des électeurs, et à décider que le classement du choix social sera égal au classement de cet électeur en particulier, indépendamment de ce que décident tous les autres; pour des raisons évidentes on va appeler cet électeur « le dictateur ».

Et donc si on ajoute comme condition supplémentaire que le système de vote ne soit pas « dictatorial », aucune fonction de choix social respectant les conditions n’existe. Voilà le théorème d’impossibilité d’Arrow.

Classement versus jugement

On l’a vu, il est possible d’échapper au théorème d’Arrow en modifiant la manière dont les électeurs expriment leurs préférences. Dans les conditions du théorème d’Arrow, les électeurs classent les candidats. Mais on peut très bien leur demander de les noter ou les juger, plutôt que de les classer. En théorie, une méthode de choix parfaite serait de connaître pour chaque électeur le niveau de satisfaction que lui apporterait chacun des candidats, ce que les économistes appellent « l’utilité » associée à ce choix. On pourrait alors choisir le vainqueur qui maximise l’utilité totale de la société.

Cette méthode souffre de plusieurs problèmes. Comme je le dis dans la vidéo, cette méthode de vote suppose que chaque électeur révèle de manière sincère l’utilité que lui apporterait chacun des candidats; mais en pratique, il est possible de manipuler le résultat en exagérant son vote. Et puis autre problème relevé par Arrow, même si les gens étaient tous sincères, il est extrêmement difficile de correctement quantifier ses propres niveaux d’utilité. Ce qu’argumente Arrow, c’est que la seule chose que les électeurs puissent faire de manière assez fiable et robuste, c’est de comparer des options deux à deux : est-ce que je préfère Jean à Jacques ? Et Jacques à Marie ? etc. Et donc au final d’établir un classement entre les candidats.

En somme, Arrow nous dit que d’un côté, classer les candidats est la seule chose que l’on sache faire de manière fiable, d’un autre il n’existe aucun système raisonnable permettant de passer d’un ensemble de classements individuels à un classement agrégé « social ».

Le cas des ex-aequo pour le jugement majoritaire

On ne va pas se raconter de blagues : à première vue le système de vote du jugement majoritaire peut être déstabilisant, et paraître « compliqué ». Je dois avouer que j’ai eu cette impression la première fois, mais j’espère sincèrement l’avoir expliqué de la manière la plus simple possible dans la vidéo, et qu’il semblera limpide à tous (si ça n’est pas le cas, j’attends vos témoignages.)

Il reste toutefois un cas délicat que j’ai volontairement un peu escamoté sous le tapis dans la vidéo : celui des ex-aequos.

Imaginons que les deux meilleurs candidats aient obtenu exactement la même mention majoritaire, disons « Assez Bien ». Comment les départager ? Une manière simple consiste à simplement déclarer vainqueur celui dont le pourcentage cumulé des mentions supérieures ou égales (AB, B, TB et Excellent) est le plus élevé. C’est simple, mais les auteurs Rida Laraki et Michel Balinski proposent une autre manière de procéder.

On peut en effet nuancer les mentions : prenez un candidat, considérez le pourcentage des gens qui ont attribué une mention strictement meilleure (ici : B, TB et Excellent) et comparez le au pourcentage des gens qui ont attribué une mention strictement inférieure (ici : à rejeter, Insuffisant, Passable). Si le premier est plus élevé, vous nuancez la mention en « + », si le second est plus élevé, vous nuancez la mention en « -« . Et bien évidemment pour une mention identique, le « + » bat le « -« .

En cas de nouvelle égalité, pour une égalité de mention « + » on regarde le % des gens ayant attribué une mention strictement supérieure. Celui avec le plus gros pourcentage gagne. Pour une égalité de mention « -« , on regarde le % des gens ayant attribué une mention strictement inférieure, dans ce cas celui avec le pourcentage le plus faible gagne.

Ce raffinement des mentions permet de traiter les cas d’égalité, et d’après les auteurs, il donne un résultat plus représentatif que de regarder simplement le pourcentage cumulé.

J’ai eu la chance de pouvoir interviewer Rida Laraki et Michel Balinski sur ces questions, qu’ils en soient remerciés ! Et j’avoue que je trouve cette méthode pour départager les ex-aequos un chouilla compliquée, même si on peut argumenter qu’elle est meilleure. Je me demande si le gain de « perfection » de cette méthode justifie de compliquer le système de vote, surtout que l’on parle déjà d’un changement démocratique majeur.

Les débats sont ouverts !

Pour finir, je vous donne ci-dessous quelques références de Michel Balinski et Rida Laraki, qui relatent notamment plusieurs de leurs expériences « de terrain » pour comparer le jugement majoritaire au scrutin traditionnel à 2 tours, notamment sur différentes élections présidentielles. Pour ma part, j’ai fait exprès de ne pas citer ces exemples, car je trouve que prendre un exemple réel pour faire la promotion d’un système de vote pourrait passer pour de la promotion du candidat que ce nouveau système de vote désignerait. Il me semble que la méthode du jugement majoritaire est intrinsèquement la meilleure, et cette opinion ne doit pas dépendre du résultat qu’aurait eu cette méthode sur les élections précédentes.

Pour aller plus loin : une vidéo de Rida Laraki

Balinksi M., R. Laraki (2013). «Jugement Majoritaire vs Vote Majoritaire (via les Présidentielles de 2011-2012)». Revue Française d’Economie. N°4, volume XXVII, 11-44.

Balinski M., R. Laraki (2012). «Ne votez pas, jugez». Pour la Science.

Balinski, M. and R. Laraki (2011) «Majority Judgment: Measuring Ranking and Electing». MIT Press.