Permutazioni semplici



Procediamo su un esempio:

Domani sei a rischio di essere interrogato in tre materie: italiano, matematica e inglese: essendo la fine del quadrimestre ed avendo tre ore di tempo decidi di studiare ogni materia per 1 ora; in quanti modi puoi "permutare" le materie?

in pratica puoi fare: prima ora seconda ora terza ora Italiano Inglese Matematica Italiano Matematica Inglese Inglese Italiano Matematica Matematica Italiano Inglese Inglese Matematica Italiano Matematica Inglese Italiano Come vedi hai 6 possibilita';

Noi vogliamo trovare il numero di permutazioni possibili senza dover fare tutta una tabella, anche perche' finche' si tratta di 3 oggeti e' abbastanza semplice, ma se volessi sapere in quanti modi diversi posso permutare i 90 numeri della tombola mi troverei nei pasticci Proviamo a risolvere questo problema senza fare la tabella:

Quanti numeri diversi di 5 cifre posso formare con le cifre 1,2,3,4,5 ?



Allora nel numero che potro' fare la cifra 1 potra' essere al primo posto, oppure al secondo posto, oppure al terzo posto, oppure al quarto posto, oppure al quinto posto; cioe' per la cifra 1 ho 5 possibilita'

Per la cifra 2 (avendo gia' messo la cifra 1) invece ho solo 4 possibilita' perche' un posto e' gia' occupato dalla cifra 1

Per la cifra 3 mi restano tre possibilita' perche' due posti sono gia' occupati dalla cifra 1 e dalla cifra 2

Per la cifra 4 mi restano due possibilita' perche' tre posti sono gia' occupati dalla cifra 1, dalla cifra 2 e dalla cifra 3

Per la cifra 5 ho solo una possibilita' perche' quattro posti sono gia' occupati dalle cifre 1, 2, 3 e 4 e il 5 va nel posto che resta vuoto

quindi

per la cifra 1 5 possibilita'

per la cifra 2 4 possibilita'

per la cifra 3 3 possibilita'

per la cifra 4 2 possibilita'

per la cifra 5 1 possibilita'

cioe'

possibilita' = 5·4·3·2·1 = 120

Con le 5 cifre posso scrivere 120 numeri diversi Riprendiamo l'esercizio delle materie da studiare visto prima:

Comincio da italiano

Italiano posso studiarlo la prima ora , oppure la seconda ora oppure la terza

inglese posso studiarlo in una delle due ore in cui non studio italiano

Matematica posso studiarla nell'ora in cui non studio ne' italiano ne' inglese

quindi

italiano 3 possibilita'

inglese 2 possibilita'

matematica 1 possibilita'

possibilita' = 3·2·1 = 6

In generale:



Il numero di permutazioni semplici su n oggetti P n e' dato dal prodotto del numero n per tutti i suoi antecedenti



P n = n·(n-1)·(n-2)· ..... ·3·2·1

Per antecedenti di un numero si intendono i numeri che lo precedono nella successione naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,........

ad esempio gli antecedenti di 6 sono i numeri 1,2,3,4,5 Problema:Quanti anagrammi (anche senza significato) posso fare con le lettere della parola cane?

Sono 4 oggetti quindi

P 4 = 4·3·2·1 = 24

Con le 4 lettere posso scrivere 24 gruppi diversi Adesso posso risolvere anche il problema:

Trovare in quanti modi diversi possono uscire i 90 numeri della tombola

Basta applicare la formula

P 90 = 90·89·88·87·86·85·84·83·82·81·80·79·78·77· ..... ·3·2·1



A parte il fatto che non calcolo il risultato perche' e' un numero troppo elevato, devo trovare un modo di scriverlo in maniera piu' compatta perche' non posso scrivere centinaia di numeri in fila oppure mettere i puntini per indicare il numero di permutazioni;

introduciamo quindi, nella prossima pagina, il fattoriale di un numero