Les fractales

Si vous savez déjà ce que sont les fractales, ou que les maths ne vous intéressent pas, vous pouvez passer directement à la suite. Sachez toutefois que pour expliquer les fractales, j'ai économisé 1 000 euros cet été pour pouvoir me payer 30 secondes de speech de Nicolas Sarkozy. Vas-y mon grand, c'est à toi.

Les premières étapes de construction du flocon de Koch





Le flocon de Koch









Stupéfiant non ? Aussi, si vous voulez voir ce que ça fait de badtriper sur de la crystalmath (ho ho ho), matez-moi ça :









Les fractales dans la nature

Le chou romanesco : un exemple naturel de structure fractale

Un flocon de Koch aléatoire

Comment les colonies de bactéries forment-elles des fractales ?

Culture de bactéries issues de la main d'un petit garçon

La culture des bactéries en labo

Colonie de Paenibacillus vortex.

En laboratoire, les bactéries sont cultivées dans des boites de Pétri tapissées d'une sorte de gel au nom exotique : l' agar-agar . Ce gel contient des nutriments qui permettent aux bactéries de se multiplier et à la colonie de croitre. Si les conditions sont constantes, les facteurs qui influent sur la croissance de la colonie sont considérablement réduits. En plus, les boites de Pétri sont rondes, les nutriments sont répartis de façon homogène et la souche de bactéries est mise en culture au centre de cette boite, ce qui rend le problème parfaitement symétrique, au grand bonheur des scientifiques. Le développement de la colonie de bactéries ne dépend plus que de quelques paramètres, essentiellement la concentration en nutriments et la densité du gel, et ses mécanismes d'auto-organisation se révèlent. Pour mieux comprendre comment, nous allons considérer les différentes étapes de développement (les formes de colonie dépendent aussi de la nature de la bactérie, mais la suite est valable dans ses grandes lignes pour toutes les espèces).



Les différents morphotypes de Bacilus subtilis. Crédits : A.M. Lacasta et al. Face à ces différentes situations, les colonies réagissent en s'organisant spontanément en morphotypes différents, c'est à dire qu'elles adoptent une forme déterminée qui garantit un accès optimisé aux nutriments (voir photo ci-dessous). Une même espèce de bactéries adoptera toujours le même morphotype dans les mêmes conditions. Et si les conditions changent, alors la colonie peut brutalement passer d'un morphotype à l'autre. C'est un peu comme les soldats romains qui adoptaient différentes configurations selon la situation.

Une colonie de Paenibacillus dendritiformis séparée en deux morphotypes distincts, suite à un changement de conditions. Crédits : Prof. Eshel Ben-Jacob, Tel-Aviv University.

La formation des figures fractales

doit explorer un maximum de surface pour se nourrir. Alors son développement est décrit (à peu près) par le modèle d'agrégation limitée par diffusion (ALD). Ce modèle explique très simplement la formation de fractales aléatoires dans une multitude de situations, notamment les célèbres figures de Lichtenberg. J'en avais déjà parlé dans " Supposons ici que les conditions soient réunies pour que la colonie forme de jolies branches, c'est à dire qu'elle est libre de s'étendre et qu'elleexplorer un maximum de surface pour se nourrir. Alors son développement est décrit (à peu près) par le modèle). Ce modèle explique très simplement la formation de fractales aléatoires dans une multitude de situations, notamment les célèbres figures de Lichtenberg. J'en avais déjà parlé dans " Comment la foudre peut tatouer des fractales sur votre peau ".









Développement des embranchements dans une colonie de bactéries

Une étoile n'est pas un objet chiral

Une spirale est objet chiral

Une colonie de Paenibacillus dendritiformis exhibe des motifs en spirales. Crédits : Prof. Eshel Ben-Jacob, Tel-Aviv University.

Les bactéries fractales d'Eshel Ben-Jacob





D'autre part, Ben-Jacob découvrit deux espèces de bactéries, qui forment des colonies avec des motifs merveilleusement complexes : Paenibacillus dendritiformis (à gauche) et Paenibacillus vortex (à droite) :



Les deux espèces de bactérie découvertes par Eshel Ben-Jacob Eshel Ben-Jacob fut ainsi le précurseur d'une forme dmicrobial art, dont j'ai eu l'occasion de parler



Ah si les colonies israéliennes en Palestine pouvaient être fractales... Ce serait toujours illégal, mais ce serait joli vu du ciel. Je mentionne ici Eshel Ben-Jacob , pour deux raisons. D'une part, c'était quand même un sacré lascar et il nous a malheureusement quittés cette année. Spécialiste des systèmes complexes auto-organisés, il commença à s'intéresser aux bactéries à la fin des années 80. D'une certaine façon, il réhabilita les bactéries, en montrant qu'elles pouvaient s'adapter et exhiber des comportements complexes. Il compara la colonie à un cerveau primitif, où des informations sont véhiculées et des décisions prises. Ses travaux en microbiologie trouvèrent des applications dans les neurosciences, en immunologie, en intelligence artificielle, et même en cybernétique !D'autre part, Ben-Jacob découvrit deux espèces de bactéries, qui forment des colonies avec des motifs merveilleusement complexes :(à gauche) et(à droite) :Eshel Ben-Jacob fut ainsi le précurseur d'une forme d 'art bactériologique : le, dont j'ai eu l'occasion de parler ici , et ses cultures firent des émules dans le monde entier. Les photographies ci-dessous proviennent d'ailleurs principalement de son laboratoire, où il étudia la capacité d'adaptation des colonies. En faisant varier les conditions, Ben-Jacob obtint des résultats extrêmement intéressants sur le plan scientifique, tout en produisant des œuvres d'art. La variété des formes est donc entièrement due à des processus naturels. En revanche, les couleurs sont artificielles (je sens poindre une once de déception). En effet, pour être visible, la colonie est d'abord teintée en bleu, en utilisant un colorant. Les différentes nuances de bleu sont ensuite numériquement traduites en couleurs. C'est l'heure de la petite vanne politique :Ah si les colonies israéliennes en Palestine pouvaient être fractales... Ce serait toujours illégal, mais ce serait joli vu du ciel.

Galerie de colonies de bactéries fractales

Une colonie de Paenibacillus dendritiformis. Crédits : Prof. Eshel Ben-Jacob, Tel-Aviv University.

Morphotype dendritique de Paenibacillus dendritiformis. Crédits : Prof. Eshel Ben-Jacob, Tel-Aviv University.

Morphotype chirale d'une colonie de Paenibacillus dendritiformis. Crédits : Prof. Eshel Ben-Jacob, Tel-Aviv University. Colonie de Paenibacillus vortex. Crédits : Prof. Eshel Ben-Jacob, Tel-Aviv University.



Les motifs géométriques créés par une colonie d'E.Coli, visualisés en fluorescence

Avant de revenir vers la physique, je fais une halte en chemin, avec un petit billet situé au point triple Art-Microbiologie-Mathématiques, consacré aux colonies de bactéries qui forment des figures fractales : comment diable ces organismes parviennent-ils à produire des structures si élaborées ? Bon, et il y a quand même un peu de physique. Et un peu de politique. Mais il y aussi beaucoup de chouettes photos. Vous pouvez donc vous contenter, comme Nadine Morano en CM2, de ne regarder que les images. Bonne lecture :)"Alors non. Oui. Un fractale, une fractale, un fractale ? Bref, c'est un truc que quand tu le regardes, ça change pas, même que tu le regardes d'en haut, puis de plus en plus haut, puis de plus en plus bas. Alors je pose la question : qui, en France, aujourd'hui, peut se permettre ça ? Et avec quel argent ? Moi je le dis tout net, les frontières de la France ne sont pas fractales, il y a une limite au nombre de réfugiés que .."Ok, c'est bon. Heu.. pour me faire rembourser les 1 000 euros, je vois avec Liliane ?Bon, les fractales, c'est tout simple et super visuel. Ce sont des objets qui exhibent les mêmes structures quelle que soit l'échelle à laquelle on les regarde. On peut zoomer à l'infini sur n’importe quelle partie, on retrouvera toujours le même motif. Un des exemples les plus connus et les plus simples est celui du flocon de neige de Koch , formé avec un motif triangulaire. Il est construit en dessinant des triangles successivement au milieu de chaque segment. Voici les 6 premières étapes :En poursuivant ce processus à l'infini, on obtient ceci (pensez à arrêter de regarder au bout de quelques minutes) :Vertigineux et passionnant n'est-il pas ? Les fractales ont aussi des propriétés pour le moins surprenantes. Et qui d'autre que Mickaël Launay de la chaine YouTube Micmaths pour nous expliquer au mieux ce dont il s'agit ? Il parvient même à expliquer simplement les dimensions fractales.Depuis la découverte/invention des fractales dans les années 70, on s'est aperçu que ces structures sont omniprésentes dans la nature. Des poumons aux dépôts de manganèse, en passant par les méandres des fleuves, les fractales sont presque partout. Les mathématiques associées ont trouvé des applications très concrètes : le calcul de la longueur d'une côte rocheuse, la modélisation des échanges pulmonaires ou la création d'une chaîne de montagnes dans un jeu-vidéo par exemple. Il existe cependantentre les fractales mathématiques et leurs équivalents naturels. Premièrement, dans la nature, on ne peut pas zoomer/dézoomer à l'infini. Par exemple, en zoomant sur le chou romanesco, on finira par voir des structures indistinctes, puis des cellules etdes atomes. Le chou est donc fractal, mais seulement sur une gamme d'échelles réduite : la structure est reproduite quatre ou cinq fois avant de s'estomper et de disparaître.Dans les poumons, qui doivent offrir un maximum de surface pour les échanges gazeux, on ne compte pas moins de 16 itérations ! Cela signifie que les deux branches principales se divisent en embranchements, qui se divisent en embranchements, qui se divisent en embranchements, et ainsi de suite, 16 fois de suite. Pour en apprendre davantage, on peut lire cette page Deuxièmement, les formes fractales naturelles ont toujours une composante aléatoire (par exemple, la direction dans laquelle le motif est répété peut fluctuer). Cela signifie que la figure fractale, au lieu d'être construite de façon déterministe, en répétant exactement la même étape, est construite avec une dose de hasard. La construction du flocon de neige de Koch par exemple, pourrait ressembler à ceci :Je ne m'étends pas ici, vous trouverez quantité de ressources en ligne si vous voulez creuser le sujet (voir aussi les liens à la fin de l'article).Les bactéries sont des microorganismes vivants qui se développent en se multipliant et en colonisant un milieu. Tant que les conditions nécessaires à leur survie sont réunies, les bactéries continuent de se multiplier. Certaines s'organisent en colonies, des superstructures composées de millions de bactéries, qui adoptent des formes variées qui dépendent à la fois des conditions et de la nature des bactéries. Celles-ci doivent gérer de nombreuses contraintes, comme la lumière, la présence de certains éléments chimiques toxiques ou bénéfiques, la nature du terrain, la température, l'humidité, la compétition ou la coopération avec d'autres bactéries, etc. Une colonie de bactéries se réorganise sans cesse pour s'adapter aux variations de ces conditions. Elle peut, entre autres, adopter des formes spécifiques très différentes en fonction des conditions, appelées. Il en résulte que dans des conditions naturelles, les colonies de bactéries ne prennent quasiment jamais l'aspect que nous allons examiner par la suite. Pour obtenir de jolies figures fractales, il faut éliminer toutes ces contraintes en cultivant les bactéries en labo, dans un environnement stérile et dans des conditions déterminées.Au tout début, la colonie se résume à un petit point au centre de la boite de Pétri. À part leur environnement immédiat, les bactéries ne "connaissent" rien du milieu où elles se trouvent. Les bactéries vont alors commencer à se multiplier, en extrayant des nutriments du gel, et la colonie va se développer. Quand une bactérie se divise, elle oriente sa division vers le milieu le plus nutritif, de sorte que, ayant déjà consommé une partie ou la totalité des nutriments accessibles en un point, la colonie va s'étendre pour conquérir de nouveaux territoires. La suite dépend, comme nous l'avons vu, de deux paramètres. Plus la densité du gel est élevée, plus il est "solide" et plus les bactéries de la colonie vont peiner à se propager, comme des parisiens dans le métro à 18h. Par ailleurs, plus la concentration en nutriments est faible, plus la colonie va devoir fabriquer des embranchements, et plus le motif sera complexe.Sur la figure ci-dessus, extraite de cet article , on voit par exemple différents morphotypes de la bactérie. On remarque que pour obtenir une belle figure fractale (A), il faut que le gel soit relativement pauvre en nutriments. La densité du gel affecte aussi l'épaisseur des branches : plus elle est élevée, plus les branches sont fines. D'ailleurs, si le gel est trop dense, la colonie croit de façon radiale sans même fabriquer de branches, et forme un gros pâté bien rond. Si le gel est très dense et la concentration en nutriments élevée, il n'y a quasiment aucun embranchement ; non seulement la colonie n'en a pas besoin, mais en plus, sa capacité de mouvement est dans ce cas très limitée.Dans ce modèle, on considère des particules qui suivent une "marche aléatoire" (aussi appelée) : elles se diffusent aléatoirement à partir d'un point de départ, presque comme les bactéries dans la boite de Pétri. Au début, les particules sont toutes concentrées au même endroit. Lorsqu'elles sont libérées, elles forment des agrégats qui se diffusent dans le milieu et se divisent en morceaux plus petits. Cette petite vidéo montre les résultats d'une simulation utilisant ce modèle : Sans hasard, on aurait des branches exactement semblables, mais si Jurassic Park nous a appris quelque chose, c'est que la vraie vie est chaotique. Bref. Avec ce modèle, on peut facilement reproduire des motifs complexes, mais il ne prend pas en compte le fait que les colonies de bactéries ne sont pas seulement gouvernées par le hasard. Leur croissance est dictée comme on l'a dit, par le besoin de nourriture et pas seulement par les perturbations qui transportent des particules inertes. Les bactéries ont en quelque sorte un pouvoir de décision commun sur la forme de la colonie. Un modèle plus satisfaisant est le, qui permet de mieux rendre compte de la progression de la colonie. Pour en savoir plus, on peut lire cette page (en anglais).Quoiqu'il en soit, les premières étapes de la formation d'une colonie fractale ressemble à ceci : des branches principales se déploient, permettant aux bactéries de prospecter les alentours. La taille et le nombre de ces branches dépendent des facteurs déjà cités, et leur direction peut être influencée par les variations locales de concentration en nutriments par exemple. Puis, lorsque les branches atteignent une certaine longueur et se trouvent à une distance raisonnable des branches adjacentes, elles se subdivisent, pour explorer un maximum de surface. Mais on voit déjà apparaitre une contrainte : les embranchements ne doivent pas se toucher (enfin, techniquement elles le peuvent, mais ça ferait doublon et la nature a horreur du gâchis).Ces branches secondaires vont à leur tour se subdiviser, créant des formes de plus en plus complexes au fur et à mesure que le milieu de culture s'appauvrit en nutriments. Bon, j’ai la flemme de tracer plein de petits traits dans, mais vous avez pigé le concept, et il y a plein de photos un peu plus loin.Les motifs formés dépendent également de l'espèce de la bactérie ; certaines sont plus enclines à former des colonies avec des motifs complexes. D'autres ont tendance à produire de belles figures fractales enroulées. Cette dernière propriété est appelée, un terme que l'on rencontre d'habitude en chimie ou en physique.est un mot compliqué pour un truc tout simple : un objet est appelés’il constitue l’image miroir d’un autre objet avec lequel il ne se confond pas. Ça a l'air encore compliqué, alors voici un exemple. Prenons le cas d'une étoile. Son reflet dans un miroir est exactement la même étoile. Si on les superpose, on aura une étoile. Une étoile n'est donc pas chirale.Considérons maintenant ce motif en spirales :Si l'on superpose l'original à son reflet, on obtient un truc bien moche, les deux images ne se confondent pas du tout. La spirale est donc un objet chiral.Pour en revenir aux colonies de bactéries, on parle de chiralité lorsque la symétrie radiale de la colonie est brisée : elle s'enroule dans un sens ou dans l'autre, et son image ne se confond pas avec son reflet dans un miroir quand on les superpose. Sans que l'on sache encore exactement pourquoi, la taille et la forme de la bactérie semble influer sur la chiralité. Logiquement, des bactéries les plus longues ont plus de chance de former des motifs en spirale. Le sens de rotation semble être aléatoire, mais il est évidemment fixé dès les premiers embranchements.Si les voix robotisées ne vous effraient pas, cette vidéo accélérée montre la formation d'une colonie fractale :Je vous laisse maintenant avec ce que vous attendez tous : des scènes de nu bactérien très osées.Merci à Taupo du blog Strange Stuff and Funky Things pour sa relecture attentive et ses corrections.Pour en savoir plus :Sur les fractales en particulier et les maths en général : le blog " Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes Sur le microbial art en général