先日、「シンデレラガール総選挙」の結果が発表された。

いきなりで何のことか分からない人のために説明すると、ゲームアプリ「アイドルマスターシンデレラガールズ」内で行われた人気投票である。

投票対象となるアイドルは総勢183人。1位に輝いた高垣楓は約106万票を獲得した。

では、私の担当（応援しているアイドル）である神谷奈緒の票数は……と見てみると、出てないじゃん！

そう、得票数が発表されたのは、全体のトップ10と各属性（※）のトップ5まで。神谷奈緒は全体15位なので、何票獲得したのかが分からないのだ。

※アイドルごとに属性（キュート・クール・パッション）が設定されている

ならばこちらにも考えがある。公開されているデータを最大限使って、数学的に各アイドルの得票数を推定してやろうではないか。

注：この総選挙はゲーム内でゲットした「投票券」1枚で1票投票できる。ログインボーナスで1日1票は手に入るし、イベントに参加すれば無課金でも2〜300票は入れられるので、必ずしも100万人が楓さんに投票したわけではない。

曲線を求める

まずは公開されている得票数をグラフにしてみる。このグラフに近くなるような数式を求められないだろうか。得票数をyとして、順位xの関数で表したい。

（以下特に断りなく「指数関数」とか「対数」とかの高校数学の知識を用いるので、よく分からない人は雰囲気で読んでね）

どうやら指数関数で近似できそうなので、順位と得票数の対数をとってプロットしてみた（「In（x）」は「底をe（=自然対数）としたxの対数」のこと）。このグラフに直線を引いてみよう。

このような点に近い直線を引くときには「最小二乗法」が有効だ。詳しい説明は省くが、これで直線y=ax+bの係数を求めると、a=-0.49883,b=13.99087となった。直線を引くと、多少はズレるがいい線いっているのではないか。線だけに。

画像のような変形を経て、順位xと得票数yの関係を求めた。

グラフに曲線を加えるとこんな感じ。

これでめでたく推定ができる。神谷奈緒の15位を見ると、308661票。げ、幸子（14位。キュート属性5位のため得票数が公開されている）より多い！

残念ながら誤差の犠牲となってしまったようだ。仕方ないので、14位と16位の数値をy=A×（x^b）の式に当てはめてAとbを求め、そこから15位の得票数とした。

神谷奈緒の得票数は294339票（推定）。このうち250票くらいが私の票です。

合ってんのかな（不安）

さて、式が立ったので他の順位の得票数も分かる。こんな感じ。

183位までこの式を適用すると、183位の得票数は88627票、投じられた票の総数は3064万0254票となった。

うーん、多すぎる気もする。この式がどのくらい当たっているのか考えてみよう。

プロデューサー達の投票事情を探ってみると、無課金で普通にプレイしたときの票数が少なくとも250票、課金をフルに行って頑張るときの目標票数が2000票ほどらしい。

また、総選挙期間中のユーザー数については、プロデューサー有志のデータを参考に7万5000人と推定。

これらを踏まえ、投票数に対する人数の変化が対数正規分布（所得配分の推定などに用いられる）に従うと仮定して、画像のような曲線を求めた。

※（投票数）/500を変数xとし、xが0から4の範囲で累積値が0.9987となる（=99.87％がこの範囲に収まる）ことを制約としながら、曲線の山がx=250/500=0.5の点にくるようなパラメータを探索した結果、μ=-0.3537、σ=0.58とした

ここから総票数を算出すると……3054万票！ 先ほどの総票数（3064万票）と非常に近いじゃないか。

多少作為的な設定に関しては目をつむっていただきたいが、結構うまくいくもんなんだなあ。

2018年に向けて……

さて、来年行われる（かもしれない）第7回シンデレラガール総選挙はもう始まっている。プロデューサー達は地道な布教活動を続け、自らの担当するアイドルのランクインを目指すのである。

推計を見ると、50位が約17万票、183位が約9万票。ということは、現在ランク外にいるアイドルでも8万票増やせば高確率でランクインできるということだ。

先ほどの分析によると、1000票以上入れたプロデューサーの数は約2500人で、75000人の3.3％。一方で、これらの人が入れた票の総数は全体の10%程度になる。

「すごい3%が選挙の1割を握る」と捉えるか、「無課金＆微課金層が9割を決する」と捉えるか。

血のにじむ努力をして2000票投じる仲間を40人集めるか、200票を400人から、20票を4000人から集めるかの違いだ。どれも大変！

いずれを目指すかは感じ方の違いになるが、担当アイドルのランクインを目指す皆さまは参考にしてほしい。

編集協力 QuizKnock

